Si pyq son números primos, ¿cómo pruebo que z ^ p = 1 y z ^ q = 1 no tienen una raíz común donde z es un número complejo?

Answer 1

Bueno, [matemáticas] z = 1 [/ matemáticas] es una raíz común . Entonces, ¿probablemente no quiso decir otra raíz común que [math] z = 1 [/ math] ?

Las raíces son [matemáticas] z ^ p = 1 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] e ^ {2 \ pi ai / p} [/ matemáticas] [matemáticas] (1 \ le a \ le p) [/ matemáticas] y [matemáticas] z ^ q = 1 [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] e ^ {2 \ pi bi / q} [/ matemáticas] [matemáticas] (1 \ le b \ le q) [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemáticas] e ^ {2 \ pi pi / p} = e ^ {2 \ pi qi / q} = 1 [/ matemáticas]. Entonces tenemos que demostrar

[matemática] e ^ {2 \ pi ai / p} = e ^ {2 \ pi bi / q} [/ matemática] implica [matemática] a = p [/ matemática], [matemática] b = q [/ matemática] .

Ahora [math] e ^ {2 \ pi ai / p} = e ^ {2 \ pi bi / q} [/ math] es equivalente a [math] e ^ {2 \ pi (aq-bp) i / pq} = 1 [/ matemáticas]. A su vez, esto es equivalente a [math] pq \ mid (aq-bp) [/ math]. Pero esto implica [matemáticas] p \ mid aq [/ matemáticas] y [matemáticas] q \ mid bp [/ matemáticas]. Como [math] \ gcd (p, q) = 1 [/ math], debemos tener [math] p \ mid a [/ math] y [math] q \ mid b [/ math]. Como [math] a \ in \ {1, \ ldots, p \} [/ math] y [math] b \ in \ {1, \ ldots, q \} [/ math], se deduce que [math] a = p [/ matemáticas] y [matemáticas] b = q [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

z = 1 es obviamente una solución. Así que supongo que realmente querías preguntar

Pregunta : Probar que excepto 1 no hay otra raíz común para las ecuaciones [matemáticas] z ^ q = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z ^ p = 1 [/ matemáticas] para números complejos [matemáticas] z [/ matemáticas].

Notación : Para enteros [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] denotamos su mcd como (a, b) .

Teorema : Para dos enteros [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] existen dos enteros [matemática] s [/ matemática], [matemática] t [/ matemática] tal que [matemática] ( a, b) = como + bt [/ matemáticas].

prueba del problema : suponga que [math] 1 \ neq \ alpha [/ math] es la raíz común de ambas ecuaciones. Claramente [matemáticas] \ alpha \ neq 0 [/ matemáticas]. Debido al lema existe [math] (p, q) = pm + nt [/ math].

Entonces [matemáticas] {\ alpha} ^ {(p, q)} = {\ alpha} ^ {pm + nt} = {{\ alpha} ^ p} ^ m {{\ alpha} ^ q} ^ n = 1 [/ math] pero el mcd de dos enteros primos es 1 . entonces [matemáticas] (p, q) = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] {\ alpha} = {\ alpha} ^ {(p, q)} = 1 [/ math]. Contradicción Entonces, la única raíz común a ambas ecuaciones es [math] 1 [/ math].

QED