Si f (x) es diferenciable, entonces es continuo y existe una derivada de esa función en cada punto de f (x).
Para tener una intuición de esto, no debe haber ‘bordes afilados’ en el gráfico.
Echa un vistazo a este gráfico
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Cuando x> 0, el gráfico se ve bien, es completamente recto, y lo mismo es cierto para x <0. Pero lo que sucede cuando x = 0- hay un borde afilado, por lo tanto, no es diferenciable. Contrasta eso con este gráfico
Ahora mire x = 0, la curva es suave, no un borde afilado.
Es por eso que la función cuadrada es diferenciable, pero la función de valor absoluto no lo es. Por supuesto, esta no es una definición rigurosa, sino una forma de obtener la intuición de lo que realmente significa la palabra ‘diferenciable’. Sin comprender el significado de diferenciable, es muy difícil comprender lo que realmente significan los derivados, las integrales y, al final, el cálculo.