¿Por qué [math] \ lim_ {v_0 \ rightarrow 0} \ frac {m} {k} \ ln (\ frac {kv_0} {mg} +1) = \ frac {v_0} {g} [/ math]?

La pregunta no tiene sentido, al menos no el sentido que le gustaría que tuviera.

Observe que la variable debajo de ‘lim’ se usa en el otro lado en el símbolo ‘=’: esto es matemáticamente incorrecto en muchos niveles.

Para evitar cometer este error, recuerde que se llama límite parcial.

Con límites parciales, puede probar todo tipo de tonterías, como 1 = 2 en enteros naturales, 1/0 = 14, y así sucesivamente.

Más bien, lo que quieres decir es que se comportan de la misma manera que [math] v_0 \ to 0 [/ math].

Digamos que dos funciones reales, f y g, son equivalentes alrededor de un punto a if: [matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x)} {g (x)} [/ math] existe e igual a 1. Notaremos [math] f (x) \ underset {x \ to a} \ sim g (x) [/ math] o [math] f \ underset {a} \ sim g. [/ matemáticas]

Ejemplo: de sus clases de trigo, sabe que [math] sin (x) \ underset {x \ to 0} \ sim x, [/ math]

o que [math] cos (x) -1 \ underset {x \ to 0} \ sim – \ frac {x ^ 2} {2} [/ math]

Visualmente, eso significa que las dos funciones son muy tangentes alrededor del punto a.

Además, sabe que [math] \ ln (1 + x) \ underset {x \ to 0} \ sim x [/ math]

A partir de eso, simplemente cambiando las letras, [matemáticas] \ frac {m} {k} \ ln (1+ \ frac {k v_0} {mg}) \ underset {v_0 \ a 0} \ sim \ frac {m} { k} \ veces \ frac {k v_0} {mg} = \ frac {v_0} {g} [/ math]

Nota: esto es lo que los físicos llaman “muy cerca de”, y tenga en cuenta [matemáticas] \ aprox [/ matemáticas]. También se conoce como la aproximación lineal o desarrollo limitado de primer orden.

Utilice [math] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ ln [/ math] [math] (1 + x) = x [/ math].

La serie Taylor de [matemáticas] ln (1 + x) = x- \ frac {x ^ {2}} {2} +… [/ matemáticas] cuando [matemáticas] -1