Cómo calcular [matemáticas] e ^ {\ pi \ sqrt {n}} [/ matemáticas] a mano

Así es como se calculan números como [math] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}}} [/ math]. Sorprendentemente, la respuesta tiene que ver con la teoría de números, específicamente, dominios de factorización únicos. Esto es realmente sorprendente, pero Wikipedia ofrece una explicación precisa. Lee el artículo original aquí.

La constante de Ramanujan es el número trascendental.

[5]

[math] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}}} [/ math], que es casi un entero, ya que está muy cerca de un entero:

[matemáticas] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 262 \, 537 \, 412 \, 640 \, 768 \, 743.999 \, 999 \, 999 \, 999 \, 25 \ ldots }[/matemáticas]

[6]

[matemáticas] {\ displaystyle \ aprox 640 \, 320 ^ {3} +744.} [/ matemáticas]

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite.

[7]

En un artículo de 1975 April Fool en la revista Scientific American ,

[8]

El columnista de “Juegos matemáticos” Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan lo había predicho, de ahí su nombre.

Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q de la invariante j.

Detalle [ editar ]

Brevemente, [math] {\ displaystyle j ((1 + {\ sqrt {-d}}) ​​/ 2)} [/ math] es un número entero para d un número de Heegner, y [math] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {d}}} \ approx -j ((1 + {\ sqrt {-d}}) ​​/ 2) +744} [/ math] a través de la expansión q .

Si [math] {\ displaystyle \ tau} [/ math] es un irracional cuadrático, entonces la j- invariante es un entero algebraico de grado [math] {\ displaystyle | {\ mbox {Cl}} (\ mathbf {Q} (\ tau)) |} [/ math], el número de clase de [math] {\ displaystyle \ mathbf {Q} (\ tau)} [/ math] y el polinomio mínimo (integral monic) que satisface se llama Hilbert clase polinomial Por lo tanto, si la extensión cuadrática imaginaria [math] {\ displaystyle \ mathbf {Q} (\ tau)} [/ math] tiene la clase número 1 (entonces d es un número de Heegner), la j -invariante es un número entero.

La expansión q de j , con su expansión de la serie Fourier escrita como una serie Laurent en términos de [matemáticas] {\ displaystyle q = \ exp (2 \ pi i \ tau)} [/ matemáticas], comienza como:

[matemáticas] {\ displaystyle j (q) = {\ frac {1} {q}} + 744 + 196 \, 884q + \ cdots.} [/ matemáticas]

Los coeficientes [math] {\ displaystyle c_ {n}} [/ math] crecen asintóticamente a medida que [math] {\ displaystyle \ ln (c_ {n}) \ sim 4 \ pi {\ sqrt {n}} + O (\ ln (n))} [/ math], y los coeficientes de bajo orden crecen más lentamente que [math] {\ displaystyle 200 \, 000 ^ {n}} [/ math], entonces para [math] {\ displaystyle q \ ll 1/200 \, 000} [/ math], j está muy bien aproximado por sus dos primeros términos. Al establecer [math] {\ displaystyle \ tau = (1 + {\ sqrt {-163}}) / 2} [/ math] se obtiene [math] {\ displaystyle q = – \ exp (- \ pi {\ sqrt {163 }})} [/ math] o equivalente, [math] {\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = – \ exp (\ pi {\ sqrt {163}})} [/ math]. Ahora [math] {\ displaystyle j ((1 + {\ sqrt {-163}}) / 2) = (- 640 \, 320) ^ {3}} [/ math], entonces,

[matemáticas] {\ displaystyle (-640 \, 320) ^ {3} = – e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} + 744 + O \ left (e ^ {- \ pi {\ sqrt {163 }}} \ right).} [/ math]

O,

[matemáticas] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 640 \, 320 ^ {3} + 744 + O \ left (e ^ {- \ pi {\ sqrt {163}}} \ derecha)} [/ matemáticas]

donde el término lineal del error es

[matemática] {\ displaystyle -196 \, 884 / e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ aprox 196 \, 884 / (640 \, 320 ^ {3} +744) \ aprox -0,000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 75} [/ matemáticas]

explicando por qué [math] {\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}}} [/ math] está aproximadamente dentro de lo anterior de ser un número entero.

Sin embargo, el segundo caso específico [math] e ^ {\ pi \ sqrt {58}} [/ math] es algo más difícil. De hecho, puede ver que se hizo una pregunta similar en Mathoverflow, un sitio de preguntas y respuestas para matemáticos profesionales. Es un número casi entero, según el matemático S.Carnahan, como

La razón estándar por la cual [math] e ^ {\ pi \ sqrt {N}} [/ math] es un número entero cercano para algunos [math] N [/ math] es que hay alguna función modular [math] f [/ math ] con [matemática] q – [/ matemática] expansión [matemática] q ^ {- 1} + O (q) [/ matemática], de modo que sustituya [matemática] \ tau = \ frac {1 + i \ sqrt {N }} {2} [/ math] (o quizás [math] \ frac {i \ sqrt {N}} {2} [/ math]) y [math] q = e ^ {2 \ pi i \ tau} [ / math] en [math] q [/ math] -expansion de [math] f [/ math] produce un número entero racional. Si [math] N [/ math] es suficientemente grande, los poderes positivos de [math] q [/ math] son ​​muy pequeños, por lo que el término inicial [math] q ^ {- 1} = e ^ {- \ pi i ( 1 + i \ sqrt {N})} = -e ^ {\ pi \ sqrt {N}} [/ math] es grande y está muy cerca del entero racional.

Usando esto, podemos calcular [matemáticas] e ^ {\ pi \ sqrt {58}} [/ matemáticas] por

[matemáticas] 24 + 64 \ times \ left (\ left (\ frac {5+ \ sqrt {29}} {2} \ right) ^ {12} + \ left (\ frac {\ sqrt {29} -5} {2} \ right) ^ {12} \ right) \ aprox e ^ {\ pi \ sqrt {58}} [/ math]

Entonces [matemáticas] \ left (\ frac {5+ \ sqrt {29}} {2} \ right) ^ {12} + \ left (\ frac {\ sqrt {29} -5} {2} \ right) ^ {12} [/ math] es en realidad sorprendentemente simple. Sabemos que si [matemáticas] u_ {n} = \ left (\ frac {5+ \ sqrt {29}} {2} \ right) ^ {2n} + \ left (\ frac {\ sqrt {29} -5 } {2} \ right) ^ {2n} [/ math] luego satisface la relación de recurrencia [math] u_ {n + 1} = 27u_ {n} -u_ {n-1} [/ math], que es intuitivamente obvio (estoy bromeando aquí, pero probablemente habría sido para Ramanujan). Por lo tanto, utilizando el hecho de que [math] u_ {0} = 2, u_ {1} = 27 [/ math] calculamos que es [math] 384238402 [/ math]. Entonces tenemos [matemáticas] e ^ {\ pi \ sqrt {58}} \ aprox 24 + 64 \ veces 384238402 = 24591257752 [/ matemáticas]

[matemática] e ^ x [/ matemática] es continua. Eso significa que, aunque no siempre tenemos una gran intuición de lo que significa elevar un número a una potencia irracional, todavía podemos aproximarlo de manera arbitraria de manera aproximada utilizando aproximaciones racionales del exponente. Por ejemplo, podemos aproximar [math] \ pi [/ math] por [math] \ frac {22} {7} [/ math].

El método de fracciones continuas nos permite encontrar aproximaciones racionales muy cercanas con el mínimo denominador posible. Eso hace que las cosas sean mucho más fáciles de calcular. Sin embargo, sigue siendo una pesadilla. Ramanujan tenía un talento increíble para el cálculo mental. Sin embargo, no estoy seguro de Hermite.