Un poco de antecedentes de los comentarios: [matemática] Q [/ matemática] es una probabilidad, por lo que necesitamos [matemática] 0 \ le Q \ le 1 [/ matemática].
[matemáticas] 1 [/ matemáticas] es una solución obvia como
[matemáticas] 1 = 1-p + p \ cdot1 ^ {z-1} = 1-p + p \ cdot 1 = 1-p + p = 1 [/ matemáticas]
Entonces, me temo que te estás perdiendo algo. Veamos [matemáticas] p = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] z = 4 [/ matemáticas]
- Cómo encontrar la fórmula de suma parcial para [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (2 n + 1) / (2 ^ n)
- Si [math] (xa) [/ math] es un factor de [math] (x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8) [/ math], entonces, ¿qué es [math] a [/ math ]?
- Cuando [math] F ^ 2 = F_x ^ 2 + F_y ^ 2 [/ math] y [math] d ^ 2 = d_x ^ 2 + d_y ^ 2 [/ math], F y d están en la misma línea, ¿por qué está el trabajo realizado [matemáticas] W = Fd \ neq F_x d_x + F_y d_y [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la función más cercana de una curva en forma de s que pasa por (3.11,50), (3.4,65), (3.5,85), (3.7,97) y (4.3,99.85)?
- ¿Para qué valor de x es tan (x + 30) indefinido?
La ecuación se reescribe como
[matemáticas] Q = \ frac {1} {2} + \ frac {Q ^ 3} {2} [/ matemáticas]
O
[matemáticas] Q ^ 3 – 2Q + 1 = 0 [/ matemáticas]
ya sabemos que [math] Q = 1 [/ math] es una solución, por lo que podemos factorizar [math] (Q-1) [/ math]
[matemáticas] (Q-1) (Q ^ 2 + Q-1) = 0 [/ matemáticas]
Resuelve para [matemáticas] Q [/ matemáticas], y encontrarás
[matemáticas] Q = 1 [/ matemáticas]
O
[matemáticas] Q = \ frac {\ sqrt {5} -1} {2} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] Q = \ frac {- \ sqrt {5} -1} {2} [/ matemáticas]
Como [math] \ sqrt {5} [/ math] no es racional, es bastante evidente que su fórmula mágica no funcionará (a pesar del hecho de que tenemos más de una solución). Vamos a revisar:
[matemáticas] 1 – \ frac {2 \ frac {1} {2} (4-1) -2} {\ frac {1} {2} (4-1) (4-2)} = 1- \ frac {3-2} {\ frac {1} {2} \ cdot3 \ cdot2} = 1- \ frac {1} {3} = \ frac {2} {3} [/ matemáticas].
¿Es esto para alguna clase de economía? Porque, hasta donde recuerdo, a menos que entres en una economía de alto nivel, las matemáticas allí son incompletas. Recuerdo que uno de mis maestros de economía escribió un polinomio [matemático] 50 ^ \ text {th} [/ matemático] y nos explicó que “la” solución era la tasa de interés. Algo así hizo que mi clase de estudiantes de matemáticas se riera por un tiempo. Y el chico era bastante bueno y respetado en su campo.
NB: parecería, sin embargo, que la fórmula “mágica” le está dando una aproximación bastante amplia de uno de los posibles resultados.
Editar: más sobre esto, ya que me tienes enganchado
Primero, ¿cuántas soluciones tiene [matemática] Q = (1-p) + p \ cdot Q ^ {z-1} [/ matemática] entre O y 1?
Bueno, veamos
[matemáticas] \ frac {d (1-p + p \ cdot Q ^ {z-1} -Q} {dp} = (z-1) p \ cdot Q ^ {z-2} – 1 [/ matemáticas]
Esta derivada aumenta de forma monótona, negativa para [matemática] Q = 0 [/ matemática] y positiva para [matemática] Q = 1 [/ matemática] si [matemática] (z-1) p \ gt 1 [/ matemática]. En otras palabras, lo primero es que solo habrá otra solución entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] si [matemática] z \ gt \ frac {p + 1} {p} [/ matemáticas], y solo uno. De lo contrario, [matemáticas] 1 [/ matemáticas] será la única solución.
Edición 2: Pensando en ello, esta fórmula no solo no es verdadera como una igualdad, sino que es completamente inexacta como una aproximación, excepto en casos muy específicos (como [matemática] z = 3 [/ matemática]) y cuanto más alta sea el valor de [math] z [/ math].
Prueba:
[math] \ forall Q \ in [0,1), \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} Q ^ {z-1} = 0 [/ math] (ya que estamos buscando una solución donde [math] Q \ ne 1 [/ math] y por definición, como [math] Q [/ math] es una probabilidad, [math] 0 \ le Q \ le 1 [/ math], por lo tanto, aquí, [math] Q \ lt 1 [/ matemáticas]).
Entonces
[matemáticas] \ forall Q \ in [0,1), \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} (1-p) + pQ ^ {z-1} = 0 [/ math]
Y, como consecuencia, [math] \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} Q = 0 [/ math]
(y esto es exactamente lo que esperaría, dado que [matemáticas] Q [/ matemáticas] es una probabilidad de que algo * no * suceda cuando aumenta las probabilidades de que ocurra)
Ahora
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} \ frac {2p (z-1) – 2} {p (z-1) (z-2)} & = \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} \ frac {2p (z-1)} {p (z-1) (z-2)} – \ frac {2} {p (z-1) (z-2)} \ \ & = \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} \ frac {2} {(z-2)} – \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} \ frac {2} {p (z-1) (z-2)} \\ & = 0-0 \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} \ frac {2p (z-1) – 2} {p (z-1) (z-2)} = 0 [/ math]
Entonces
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} 1- \ frac {2p (z-1) – 2} {p (z-1) (z-2)} = 1 [/ matemáticas]
Tadaa, esta fórmula es [Estoy autocensurando mi opinión aquí]