Cómo entender intuitivamente el concepto de un álgebra F

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El término “F-álgebra” a veces se usa para el concepto categórico de F-álgebra, pero basado en los detalles de la pregunta (“inclusión en el centro del anillo”) No creo que eso sea lo que quiere decir. Te refieres al concepto de un álgebra sobre un campo [matemática] F [/ matemática], y te preguntas qué hacer con el requisito de que [matemática] F [/ matemática] esté contenido en el centro del álgebra.

Bueno, estar en el centro solo significa “viajar con todo”, y de hecho es común exigir que los elementos de un álgebra se puedan multiplicar por escalares a la izquierda o la derecha, con el mismo resultado. Esto es lo que significa la condición.

Una manera simple de pensarlo es considerar las matrices. El anillo de [math] n \ times n [/ math] matrices sobre un campo [math] F [/ math] no es conmutativo (cuando [math] n> 1 [/ math]), y también es un espacio vectorial sobre [matemáticas] F [/ matemáticas] de una manera que hace que la multiplicación de matrices sea una operación bilineal, por lo que es un álgebra. Ahora el campo de escalares se puede identificar con matrices escalares [matemáticas] cI [/ matemáticas], y usted ve que tales matrices están en el centro: conmutan con todo.

Personalmente no me gusta esta perspectiva; Prefiero seguir pensando en el campo de los escalares como una entidad separada, en lugar de estar contenido en el álgebra. Pero ambas perspectivas son válidas y útiles. Cuando el álgebra es unital, como generalmente se requiere, puede identificar un escalar [math] c \ en F [/ math] con el vector [math] c \ cdot 1 [/ math], tal como lo hicimos con matrices, y bajo esta identificación, los escalares deben estar en el centro.

Esto es realmente todo lo que hay que hacer.