Cómo probar o refutar el producto de tres cuotas es divisible por 3

Supongo que te refieres a tres números impares consecutivos.

¿El producto de tres números impares consecutivos es divisible por tres?

Cada número impar se puede escribir como (2k + 1) donde k es cualquier número entero. Del mismo modo, cualquier número impar también se puede escribir como (2k + 3) o (2k + 5) o (2k + cualquier número impar )

Entonces, ¿cómo demuestra que el producto de tres números impares consecutivos es divisible por tres?

Si su primer número es igual a (2k + 1) , sus próximos dos números impares serán (2k + 3) y (2k + 5) , donde k es el mismo valor en cada número.

Dejar

A = (2k + 1)
B = (2k + 3)
C = (2k + 5)

Miremos el segundo número: Divida B ÷ 3 y mire el resto. Solo hay tres residuos posibles:

resto cero:

B es divisible por 3
si B es divisible por 3, entonces el producto A · B · C es divisible por 3

resto uno:

B no es divisible por 3 …
si agrega 2 al resto, obtiene 3 , que es divisible por 3
lo que significa que si sumas 2 a B , obtienes un número que es divisible por 3.
C es igual a B + 2 , por lo que si el resto fue uno, C es divisible por 3 .
si C es divisible por 3, entonces el producto ABC es divisible por 3

resto dos:

B no es divisible por 3
si restas 2 del resto, obtienes cero , divisible por 3.
lo que significa que si restas B-2 , obtienes un número divisible por 3.
Esto significa que A sería divisible por 3.
si A es divisible por 3, entonces el producto ABC es divisible por 3.

Obviamente, si elige tres números impares consecutivos, el producto de esos tres números será divisible.

¿Puedes probar también que la suma, A + B + C , también será divisible por 3? Aquí hay una pista. Agregue (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) y vea lo que obtiene.

Cómo encontrar la fórmula de suma parcial para [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (2 n + 1) / (2 ^ n)

Si [math] (xa) [/ math] es un factor de [math] (x ^ 4-5x ^ 3-21x ^ 2-23x-8) [/ math], entonces, ¿qué es [math] a [/ math ]?

Cuando [math] F ^ 2 = F_x ^ 2 + F_y ^ 2 [/ math] y [math] d ^ 2 = d_x ^ 2 + d_y ^ 2 [/ math], F y d están en la misma línea, ¿por qué está el trabajo realizado [matemáticas] W = Fd \ neq F_x d_x + F_y d_y [/ matemáticas]?

¿Cuál es la función más cercana de una curva en forma de s que pasa por (3.11,50), (3.4,65), (3.5,85), (3.7,97) y (4.3,99.85)?

¿Cuál sería una prueba para [math] \ frac {\ log_b (x)} {\ log_b (y)} = \ log_y (x) [/ math]?

Cómo resolver esto [matemática] \ small (x + 3) (x-1) ^ 2 (x-2)> 0 [/ math] en la ecuación

El producto de cualquiera de los tres números impares no necesita ser divisible por [math] 3 [/ math]; por ejemplo, [math] 1 \ cdot 1 \ cdot 1 [/ math] no es un múltiplo de [math] 3 [/ math].

Sin embargo, como observó Robert Nichols y lo demostró un autor anónimo, el producto de tres enteros impares consecutivos es divisible por [math] 3 [/ math]. De hecho, suponga que los dos primeros de los tres enteros consecutivos no son múltiplos de [math] 3 [/ math]. Dado que cada número entero tiene la forma [matemática] 3k [/ matemática], [matemática] 3k + 1 [/ matemática] o [matemática] 3k + 2 [/ matemática], el primero debe ser de la forma [matemática ] 3k + 2 [/ matemáticas]. Pero entonces el tercero es igual a [matemáticas] (3k + 2) + 4 = 3 (k + 2) [/ matemáticas]. Entonces, al menos (en realidad, exactamente igual) uno de los tres siempre es divisible por [math] 3 [/ math], y también lo es su producto. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Henning Breede

[matemáticas] 3 [/ matemáticas] no divide [matemáticas] 5 ^ 3 [/ matemáticas]

Khaliquzzaman Khan

Tres probabilidades son [matemática] 2k + 1 [/ matemática], [matemática] 2l + 1 [/ matemática], [matemática] 2m + 1 [/ matemática] con [matemática] k, l, m \ in \ Z [/ matemáticas].

Entonces su producto es [matemática] 1 + 2k + 2l + 4kl + 2m + 4km + 4lm + 8klm [/ matemática]

Ahora [matemática] 2x, 4y, 8z [/ matemática] con [matemática] x, y, z \ in \ Z [/ matemática] solo sería divisible por 3 si [matemática] x, y, z [/ matemática] divisible por 3. Y aquí tienes que agregar el 1 a uno de estos términos.

Entonces no se ve bien. Pero la refutación final es este contraejemplo:

[matemáticas] 1 \ cdot 5 \ cdot 7 = 37 [/ matemáticas]

Matt Grant

Robert Nichols tiene razón solo para complementar su buena respuesta

si asumes

[matemáticas] (2n-1) _% _ 3 = 1 [/ matemáticas]

entonces se sigue que

[matemáticas] (2n + 1) _% _ 3 = 3 mod 0mod3 [/ matemáticas]

y si asumes

[matemáticas] (2n-1) _% _ 3 = 2 [/ matemáticas]

entonces se sigue que

[matemáticas] (2n + 3) _% _ 3 = 6 ≡ 0 mod3 [/ matemáticas]

así que al menos uno de los números es múltiplo de 3 (ofc si supones que el primer módulo 3 es 0, entonces lo tienes). Srry para la notación si no está bien, en español con “Congruencia” que es mucho más fácil de escribir (es el mismo concepto aunque)

entonces el producto de 3 cuotas consecutivas es divisible por 3

Henning Breede

a = 6x + r

a es impar cuando r = 1,3,5

entonces tres números impares son 6x + 1,6x + 3 y 6x + 5

producto = (6x + 1) (6x + 3) (6x + 5)

producto = 3 (x + 1) (36x ^ 2 + 48x + 15)

producto = 3 * 3 (x + 1) (12x ^ 2 + 16x + 5)

producto = 9 (x + 1) (12x ^ 2 + 16x + 5)

Claramente, el producto es divisible por 9, por lo que es divisible por 3

Henning Breede

1 * 3 * 5 = 15 oops, cualquier múltiplo de 3 es divisible por 3 por definición.