¿Qué es [math] y [/ math] igual en [math] x = \ log_ {a} {(y + \ sqrt {y ^ 2-1})} [/ math]?

Answer 1

No entiendo claramente su pregunta, ¿quiere decir ¿Cómo encuentro la función inversa de [math] x = \ log_a (y + \ sqrt {y ^ 2-1}) [/ math] ?

Contestaré a esa pregunta.

[matemática] \ small {\ log_a (b) = \ frac {\ ln (b)} {\ ln (a)}} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {\ ln \ left (y + \ sqrt {y ^ 2-1} \ right)} {\ ln (a)} [/ math]

[matemáticas] \ implica x \ ln (a) = \ ln (y + \ sqrt {y ^ 2-1}) [/ matemáticas]

Tome [math] \ exp [/ math] en ambos lados

[matemáticas] \ implica \ exp (x \ ln (a)) = \ exp (\ ln (y + \ sqrt {y ^ 2-1})) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ x = y + \ sqrt {y ^ 2-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ xy = \ sqrt {y ^ 2-1} [/ matemáticas]

Eleve ambos lados al poder [matemático] 2 ^ {\ text {nd}} [/ matemático]

[matemáticas] \ implica a ^ {2x} + y ^ 2-2a ^ xy = y ^ 2-1 [/ matemáticas]

Simplifica [matemáticas] y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a ^ 2x + 1 = 2a ^ xy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {a ^ {2x} +1} {2a ^ x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {1} {2} \ izquierda (\ frac {a ^ {2x}} {a ^ x} + \ frac {1} {a ^ x} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {1} {2} (a ^ x + a ^ {- x}) [/ matemáticas]

Espero que esto haya ayudado 🙂

Answer 2

Como otros han demostrado, [matemáticas] y = \ dfrac {a ^ {x} + a ^ {- x}} {2} [/ matemáticas].

Esto se puede escribir como [math] \ dfrac {e ^ {x \ ln {(a)}} + e ^ {- x \ ln {(a)}}} {2} [/ math], que también está definido como [math] \ cosh {(x \ ln {(a)})} [/ math], donde [math] \ cosh {()} [/ math] es el coseno hiperbólico.

Answer 3

Ir a través de la solución adjunta: –

¡Buena suerte!

Answer 4

x = ㏒a * (y + √ (y²-1)), y²≥1 → y²-1≥0 → (y + 1) (y-1) ≥0 → y≥1 o y≤-1

conversión de registro de índice →

a ^ x = y + √ (y²-1)

** ☞MÉTODO ⑴

Squarin en ambos lados, →

(a ^ x) ² = y² + (y²-1) + 2y (√y²-1)

a ^ (2x) + 1-2y² = 2y√ (y²-1)

squarin otra vez,

a ^ (4x) + (1–2y²) ² + 2 (1–2y²) a ^ (2x) = 4y² (y²-1)

a ^ (4x) +2 (1–2y²) a ^ (2x) = 4y ^ 4–4y²- (4y ^ 4-4y² + 1)

2a ^ (2x) (2y²-1) = 1 + a ^ (4x)

2 (2y²-1) = {1 + a ^ (4x)} / a ^ (2x) = 1 / a ^ (2x) + a ^ (2x)

4y² = 2 + a ^ (2x) + 1 / (a ​​^ (2x)) = {1 / a ^ x + a ^ (x)} ²

(2y²) = {a ^ x + 1 / a ^ x} ²

2y = a ^ x + (1 / a ^ x)

y = ½ {a ^ x + (1 / a ^ x)}

** ☞ Método ②

a ^ xy = √ (y²-1)

Cuadrando ambos lados,

(a ^ xy) ² = y²-1

(a ^ x) ² + y²-2ya ^ x = y²-1

2ya ^ x = (a ^ x) ² + 1

y = ½ {(a ^ x) ² + 1} / a ^ x

y = ½ {a ^ x + (1 / a ^ x)}

O

y = ½ (a ^ x + a ^ -x)

Answer 5

Reescribe esto como

a ** x = y + sqrt (y ** 2–1)

a ** x -y = sqrt (y ** 2–1)

(a ** x -y) ** 2 = y ** 2 -1

a ** (2 * x) -2 * y * a ** x + y ** 2 = y ** 2 -1

a ** (2 * x) -1 = 2 * y * a ** x

y = (a ** (2 * x) -1) / (2 * a ** x)