Deje [math] y = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_nx ^ n [/ math]
[matemática] y ‘= \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nc_nx ^ {n-1} [/ matemática]
Sustituyendo estos en la ecuación diferencial dada …
[matemáticas] \ displaystyle (x-2) \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nc_nx ^ {n-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_nx ^ n = 0 [/ math ]
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[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nc_nx ^ n- \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} 2nc_nx ^ {n-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_nx ^ n = 0 [/ math]
[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nc_nx ^ n- \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 (n + 1) c_ {n + 1} x ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} c_nx ^ n = 0 [/ math]
[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} [nc_n-2 (n + 1) c_ {n + 1} + c_n] x ^ n + c_0–2c_1 = 0 [/ matemáticas]
Comparando coeficientes, tenemos
[matemáticas] -2c_1 + c_0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica c_1 = \ dfrac {1} {2} c_0 [/ matemáticas]
Relación de recurrencia:
[matemáticas] nc_n-2 (n + 1) c_ {n + 1} + c_n = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ implica (n + 1) c_n-2 (n + 1) c_ {n + 1} = 0 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica c_ {n + 1} = \ dfrac {1} {2} c_n [/ matemáticas]
Poniendo [matemáticas] n = 1,2,3,… [/ matemáticas]
[matemáticas] c_2 = \ dfrac {1} {2} c_1 = \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {2} c_0 \ right) = \ dfrac {1} {2 ^ 2} c_0 [/matemáticas]
[matemáticas] c_3 = \ dfrac {1} {2} c_2 = \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {2 ^ 2} c_1 \ right) = \ dfrac {1} {2 ^ 3 } c_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c_4 = \ dfrac {1} {2} c_1 = \ dfrac {1} {2} \ left (\ dfrac {1} {2 ^ 3} c_2 \ right) = \ dfrac {1} {2 ^ 4 } c_0 [/ matemáticas]
Solución:
[matemáticas] y = c_0 + c_1x + c_2x ^ 2 + c_3x ^ 3 + c_4x ^ 4 + \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica y = c_0 + \ dfrac {1} {2} c_0x + \ dfrac {1} {2 ^ 2} c_0x ^ 2 + \ dfrac {1} {2 ^ 3} c_0x_3 + \ dfrac {1} {2 ^ 4} c_0x ^ 4 + \ cdots [/ math]
[matemáticas] \ implica y = c_0 \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {x} {2} \ right) ^ n [/ math]
Parece que la serie representa una serie geométrica. Esto es convergente si
[matemática] \ izquierda | \ dfrac {x} {2} \ derecha | <1 [/ matemática]
[matemáticas] \ implica -2 <x <2 [/ matemáticas]