Cómo demostrar que Z * p es un grupo cíclico

Answer 1

Estoy de acuerdo con las personas que comentan que deberían intentar usar la notación más clara posible al hacer preguntas sobre quora. [math] p * \ mathbb {Z} [/ math] podría significar muchas cosas diferentes. Voy a tratar de responder algunas de las diferentes cosas que podría haber querido decir aquí, espero que una de ellas sea útil.

Primero, observemos que [math] \ mathbb {Z} [/ math] es un grupo que se suma. No probaré esto porque apuesto a que puedes. En muchos sentidos, es un ‘estándar contra el cual se miden otros grupos’ para ver cuán agradables son. Quizás esto sea menos matemático y tenga más opinión, pero lo diré de todos modos. Quiero decir, solo mira todas estas hermosas propiedades:

• Es conmutativo (o abeliano, dependiendo de cómo te sientas ese día)
• Es cíclico, y lo creas o no, también lo son todos sus subgrupos (puedes probar esto apelando a la división con el resto y las propiedades del máximo divisor común)
• Es un dominio integral, lo que significa que si, para [math] a, b \ in \ mathbb {Z} \ text {, tenemos} ab = 0, [/ math], debemos tener que [math] a = 0 \ text {o} b = 0 [/ math]
• Tiene una estructura de anillo donde se da la multiplicación, hasta el signo, mediante la aplicación repetida de la operación de suma.
• Lo hemos estado usando desde que éramos pequeños

Una buena manera de comprender los grupos que se parecen a los enteros es pensar en los homomorfismos entre ellos y [math] \ mathbb {Z} [/ math]. Las buenas propiedades de los homomorfismos grupales que necesitaremos para esta discusión son que

• Si [math] \ varphi: G \ to H [/ math] es un homomorfismo, y [math] A \ subset G [/ math] es un subgrupo de [math] G [/ math], entonces [math] \ varphi (A) [/ math] es un subgrupo de [math] H [/ math].
• Los generadores de [math] A [/ math] deben correlacionarse con los generadores de [math] \ varphi (A) [/ math]
• Puede especificar un homomorfismo por las imágenes de los generadores del dominio.

Vea si puede probar la primera propiedad de la definición de un homomorfismo, y luego intente probar la segunda de la primera, ¡más o menos algunos detalles divertidos!

Una vez que haya verificado esas propiedades, tenga en cuenta que hay un homomorfismo

[math] i: \ {x \ in \ mathbb {Z}: x \ text {es un múltiplo entero de} p \} = p \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}, [/ math] dado por [matemáticas] p \ mapasto p. [/ matemáticas]

A menudo llamamos a [math] i [/ math] el mapa de inclusión , y observamos que dado que [math] \ varphi (x) = \ varphi (y) \ implica x = y [/ math], este mapa es inyectivo (pruebe esto si no me crees). Dado que la imagen de [math] i [/ math] es isomórfica a [math] p \ mathbb {Z} [/ math] (¡resuelva los detalles de esta declaración!), Cualquier propiedad que se subgrupos de [math] \ mathbb {Z} [/ math] have, [math] p \ mathbb {Z} [/ math] también debe tener. Dado que los subgrupos de [math] \ mathbb {Z} [/ math] son ​​cíclicos, [math] p \ mathbb {Z} [/ math] también es cíclico.

Si por [math] \ mathbb {Z} * p [/ math], quiere decir el grupo del cociente [math] \ mathbb {Z} _p = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math], el La respuesta es sorprendentemente similar. La gran diferencia en la estrategia es que pensamos en los homomorfismos de [math] \ mathbb {Z} [/ math] aquí. Considere el mapa [math] \ sigma: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} _p [/ math], dado al enviar un número entero a su resto cuando se divide entre [math] p [/ math]. Afirmo que esto es un homomorfismo (aunque, de nuevo, ¡complete los detalles!). También afirmo que el mapa es sobreyectivo; de hecho, los posibles restos [matemática] \ {0,1, …, p-1 \} [/ matemática] son ​​enteros, y [matemática] \ sigma (x) = x [/ matemática] para todos [matemática] x \ en \ {0,1, …, p-1 \} [/ matemáticas]. Finalmente afirmo que no es posible que un grupo cíclico se mapee de manera subjetiva sobre un grupo no cíclico (para probar esto, piense nuevamente en cómo los generadores determinan los homomorfismos). En total, esto demuestra que [math] \ mathbb {Z} _p [/ math] es cíclico.

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Algunos de ustedes que leen esta respuesta pueden preguntarse por qué no apliqué un teorema más fuerte para probar esto. Creo que este es el mejor método porque requiere que recuerdes muy poco. Comprender los grupos que se parecen a otros grupos en términos de cómo se superponen y / o se inyectan entre sí es una buena estrategia para practicar temprano en su vida como algebraista. Cuando aprende a aplicar la teoría de categorías al álgebra y la usa como una herramienta para organizar lo que sabe, encontrará que los grupos y los posibles mapas que hay entre un par de ellos son una forma increíble de organizar toda la información que He aprendido.

Gracias por leer 🙂

Answer 2

La notación [matemática] Z * p [/ matemática] es ambigua en más de un conteo. En primer lugar, ¿cuáles son sus elementos? Y también, ¿cuál es la operación grupal? Además, ¿es [math] p [/ math] un primo?

Suponiendo que es primo, voy a adivinar que te refieres al grupo [math] \ left (\ mathbb Z_p ^ {\ times}, \ times_p \ right) [/ math], es decir, el grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero de [math] \ mathbb Z_p = \ {0,1, \ ldots, p-1 \} [/ math] en el módulo de multiplicación [math] p [/ math], ya que esta es la suposición más trivial que puedo hacer de La notación ambigua. (Tenga en cuenta que este sería un grupo de orden [matemática] p-1 [/ matemática], no [matemática] p [/ matemática]). La prueba tampoco es muy trivial para un sitio como Quora. Básicamente, significa probar que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico, en particular un campo finito de orden primo, porque [math] \ mathbb Z_p [/ math] es un campo bajo módulo de suma y multiplicación [math] p [/ matemáticas]. Una forma de demostrar esto es usar el hecho (de la teoría de los grupos abelianos finitos) de que el grupo abeliano finito [math] \ mathbb Z_p ^ {\ times} [/ math] es isomorfo a un producto directo finito de grupos cíclicos de la forma

[math] \ qquad \ mathbb Z_p ^ {\ times} \ cong C_ {n_1} \ times \ cdots \ times C_ {n_r} [/ math]

donde [math] n_ {i + 1} \ mid n_i [/ ​​math] y [math] n_1 \ cdots n_r = p-1 [/ math]. (Véase John F. Humphreys, Un curso de teoría de grupos (1996), Oxford University Press, p. 123.) De ello se deduce que cada elemento [matemáticas] x \ en \ mathbb Z_p ^ {\ times} [/ matemáticas] satisface [ matemáticas] x ^ {n_1} = 1 [/ matemáticas]. Ahora usamos la propiedad de campo de [math] \ mathbb Z_p [/ math] y escribimos esto como la ecuación polinómica [math] x ^ {n_1} -1 = 0 [/ math]. Este polinomio tiene como máximo [math] n_1 [/ math] raíces en [math] \ mathbb Z_p ^ {\ times} [/ math]. Como cada elemento de [math] \ mathbb Z_p ^ {\ times} [/ math] es una raíz, debe ser que [math] \ left | \ mathbb Z_p ^ {\ times} \ right | = n_1 [/ math] . Por lo tanto, [math] \ mathbb Z_p ^ {\ times} \ cong C_ {n_1} [/ math], es decir, es cíclico.

Answer 3

Si [math] \ mathbb {Z} * p [/ math] significa el grupo [math] \ mathbb {Z} \! \! \ pmod p, [/ math] donde [math] p [/ math] es primo, entonces obtienes el resultado fácilmente del Teorema de Lagrange tomando el subgrupo generado por CUALQUIER elemento que no sea 0 (no identidad) (su orden debe divide [math] p [/ math], y este orden no es 1, por lo que debe ser [math] p [/ math], por lo que este subgrupo es todo el grupo).

Si te refieres al grupo [math] \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ times \ dots \ times \ mathbb {Z} [/ math], entonces este grupo no es cíclico cuando [math] p \ neq 1 [/ matemáticas].