La secuencia en el RHS de su ecuación no es una secuencia geométrica, pero esto es lo que debe hacer.
Conjunto
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = x – \ frac {1} {2} x ^ 2 + \ frac {1} {3} x ^ 3 +… [/ matemáticas]
Primero determine el radio de convergencia de esta serie. No lo haré aquí, pero puedes determinar que converge para
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[matemáticas] \ izquierda | x \ right | \ lt 1 [/ matemáticas]
Para tal valor de x, podemos determinar la derivada [math] f ‘(x) [/ math] diferenciando la secuencia término por término:
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = 1- x + x ^ 2-x ^ 3 +… [/ matemáticas]
Esta es una serie geométrica y no debería tener dificultades para determinar que
[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = \ frac {1} {1 + x} [/ matemáticas]
La función [math] f (x) [/ math] tiene dos propiedades cruciales en común con [math] \ ln (1 + x) [/ math]
[a] la misma derivada
[b] el mismo valor en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]
Esto significa que son la misma función.
He omitido algunos detalles para que completes.