Cómo integrar sqrt (1-lnx ^ 2) / (x * ln (x))

Answer 1

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ frac {\ sqrt {1- \ ln ^ 2 {x}}} {x. \ ln {x}} dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Deje que [math] \ ln {x} = \ sec \ theta \ implica x = e ^ {\ sec \ theta} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica dx = e ^ {\ sec \ theta} \ cdot \ sec \ theta \ cdot \ tan \ theta d \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

Tenemos ahora

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {- (\ sec ^ 2 \ theta – 1)}} {e ^ {\ sec \ theta} \ sec \ theta} e ^ {\ sec \ theta} \ sec \ theta \ tan \ theta d \ theta \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = i \ displaystyle \ int \ dfrac {\ tan \ theta} {e ^ {\ sec \ theta} \ sec \ theta} e ^ {\ sec \ theta} \ sec \ theta \ tan \ theta d \ theta \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica I = i \ displaystyle \ int \ tan ^ 2 \ theta d \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[math] \ implica I = i \ displaystyle \ int (\ sec ^ 2 \ theta-1) d \ theta \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ implica I = i \ left (\ tan \ theta- \ theta \ right) + C \ tag * {} [/ math]

Sabemos [matemáticas] \ theta = \ sec ^ {- 1} (\ ln {x}), \\\ tan \ theta = \ sqrt {1- \ ln ^ 2 {x}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] I = i \ left [\ sqrt {1- \ ln ^ 2 {x}} – \ sec ^ {- 1} (\ ln {x}) \ right] + C \ tag * {} [/ math ]

Una solución no compleja, aunque más larga, podría ser evacuada utilizando la sustitución, [math] \ ln {x} = [/ math] [math] \ sin {\ theta} \ implica dx = e ^ {\ sin {\ theta}} \ cos {\ theta} d \ theta \ tag * {} [/ math]

Ahora tenemos [matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos {\ theta}} {\ sin \ theta \ cdot e ^ {\ sin \ theta}} \ cos \ theta \ cdot e ^ {\ sin \ theta} d \ theta \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ cot {\ theta} \ cos \ theta d \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

Usa fracciones parciales

[matemáticas] I = \ cot \ theta \ cdot \ displaystyle \ int \ cos \ theta d \ theta- \ displaystyle \ int (\ cot \ theta) ‘\ cdot \ int {\ cos \ theta} d \ theta {d \ theta} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = – \ cos \ theta – \ displaystyle \ int- \ csc \ theta d \ theta \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = – \ cos \ theta- \ ln | \ csc \ theta + [/ matemáticas] [matemáticas] \ cot \ theta | \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = – \ cos (\ sin ^ {- 1} (\ ln {x})) – \ ln \ left | {\ csc (\ sin ^ {- 1} (\ ln {x}) + \ cot (\ sin ^ {- 1} (\ ln {x}))} \ right | + C [/ math]

Como el todopoderoso OP ha cambiado la pregunta, he agregado un método más.

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {1- \ ln (x ^ 2)}} {x \ ln {x}} dx \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {1-2 \ ln {x}}} {x \ cdot \ ln {x}} \ tag * {} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] u ^ 2 = 2 \ ln {x} \ implica \ dfrac {du} {dx} = \ dfrac12 \ cdot \ dfrac1 {\ sqrt {2 \ ln {x}}} \ cdot 2 \ dfrac1x \ implica dx = \ sqrt {2 \ ln {x}} x du \ tag * {} [/ math]

Pon esa cosa en el Integral que obtenemos,

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {1-u ^ 2}} {u ^ 2} \ cdot \ sqrt {2u ^ 2} du \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ sqrt2 \ dfrac {\ sqrt {1-u ^ 2}} {u ^ 2} \ cdot | u | du \ tag * {} [/ math]

Como [math] u ^ 2 [/ math] siempre es positivo, podríamos cancelar [math] | u | [/ math] con él.

Obtenemos

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {1-u ^ 2}} {u} du [/ matemáticas]

Deje [math] u = \ sin \ theta \ implica \ dfrac {du} {d \ theta} = \ cos \ theta \ implica du = \ cos \ theta d \ theta \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \ cos \ theta d \ theta [/ math]

[matemáticas] I = – \ cos \ theta- \ ln | \ csc \ theta + \ cot \ theta | [/ math]

Answer 2

Usar sustitución sen u = ln x, cos u du = dx / x

Answer 3

Hagamos la siguiente sustitución:

[matemática] \ displaystyle \ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}} = y, [/ math] o [math] \ log_e {x} = \ sqrt {1-y ^ 2} \\ [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {dx} {x} = \ frac {1} {2 \ sqrt {1-y ^ 2}} \ times (-2y) dy = \ frac {-y} {\ sqrt {1 -y ^ 2}} dy \\ [/ math]

La integral ahora se calcula de la siguiente manera.

[matemáticas] \ displaystyle \ int {\ frac {\ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}}} {x \ log_e {x}} dx} \\ [/ math]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int {\ frac {\ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}}} {\ log_e {x}} \ cdot \ frac {dx} {x}} \\ [/ math]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int {\ frac {y} {\ sqrt {1-y ^ 2}} \ cdot \ frac {(- y)} {\ sqrt {1-y ^ 2}} dy} \\ [/matemáticas]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int {\ frac {y ^ 2} {y ^ 2–1} dy} \\ [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int {[1+ \ frac {1} {y ^ 2–1}] dy} \\ [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ displaystyle y + \ frac {1} {2} \ log_e | \ frac {y-1} {y + 1} | + c \\ [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}} + \ frac {1} {2} \ log_e | \ frac {\ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}} – 1} {\ sqrt {1- \ log_e ^ 2 {x}} + 1} | + c \\ [/ matemáticas]