Bueno … esta es una pregunta complicada, porque la definición de log de un número negativo es complicada, pero la mejor respuesta que puedo dar es “más sí que no”.
Comencemos con la definición de logaritmo. Hay dos definiciones con las que estoy familiarizado, y ambas dan la misma respuesta a esta pregunta. Por simplicidad, sigamos con uno de ellos: [matemática] \ log x [/ matemática] es el número [matemático] y [/ matemático] tal que [matemático] e ^ y = x [/ matemático]. Aquí uso el logaritmo natural, pero funciona igual de bien cuando reemplazas [math] e [/ math] por cualquier otra base como [math] 0.5 [/ math]. (La otra definición es [math] \ log x = \ int_1 ^ x \ frac {1} {z} dz [/ math], que es mucho más complicado de lo que parece cuando [math] x [/ math] es otra cosa que un número real positivo, pero llega al mismo resultado que la otra definición al final).
¿Por qué es esto un problema? Bueno, quizás recuerdes una de las ecuaciones más famosas de las matemáticas populares, [matemáticas] e ^ {\ pi i} = -1 [/ matemáticas]; como consecuencia simple, [matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas]. Como otra consecuencia simple, si [math] y [/ math] es un número tal que [math] e ^ {y} = x [/ math], entonces [math] y + 2 \ pi i [/ math] también es un número tal que [matemáticas] e ^ {y + 2 \ pi i} = e ^ {y} e ^ {2 \ pi i} = e ^ y = x [/ matemáticas]. Entonces, cuando dije que [math] \ log x [/ math] es el número con esa propiedad, no hay solo un número, así que tenemos un problema.
(Por otro lado, cuando [math] x [/ math] es un número real positivo, hay exactamente uno [math] y [/ math] que también es un número real con [math] e ^ y = x [/ math ], y ese es generalmente el que queremos decir cuando decimos [math] \ log x [/ math]. Seguir con “el que también es un número real” hace que propiedades como [math] \ log x_1 + \ log x_2 = \ log x_1 x_2 [/ math] también funciona bien. Cuando [math] x [/ math] no es un número real positivo, ninguno de los [math] \ log x [/ math] son números reales).
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- If [math] A = (\ cos 12 ^ \ circ – \ cos 36 ^ \ circ) \ cdot (\ sin 96 ^ \ circ + \ sin 24 ^ \ circ) [/ math] [math] B = (\ sin 60 ^ \ circ – \ sin 12 ^ \ circ) \ cdot (\ cos 48 ^ \ circ – \ cos 72 ^ \ circ) [/ math] entonces qué es [math] \ frac {A} {B} [/ math ] ¿igual a?
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A pesar de todo esto, la pregunta original puede responderse ignorando la mayor parte de esta confusión. Si bien hay infinitos valores para [math] \ log_ {0.5} (-3) [/ math] y [math] \ log_ {0.5} (-4) [/ math], si toma cualquiera de estos dos valores y suma juntos, obtienes uno de los valores posibles para [math] \ log_ {0.5} (12) [/ math]. En otras palabras, si [matemática] 0.5 ^ {y_1} = -3 [/ matemática] y [matemática] 0.5 ^ {y_2} = -4 [/ matemática], entonces [matemática] 0.5 ^ {y_1 + y_2} = 0.5 ^ {y_1} 0.5 ^ {y_2} = (-3) (-4) = 12 [/ matemáticas]. Entonces, si bien cada uno de los tres términos en esa ecuación tiene múltiples valores posibles, si elige valores para cualquiera de los dos, habrá un valor para el tercero que hace que la ecuación sea verdadera; Por eso digo que la ecuación es fundamentalmente cierta.
Otra forma de decir esto está inspirada en la respuesta de David Rutter a ¿Es esto un hecho real sobre los logaritmos ?, donde [math] \ log x [/ math] se trata como un conjunto. Entonces [math] \ log_ {0.5} (-3) + \ log_ {0.5} (-4) = \ log_ {0.5} (12) [/ math] donde [math] = [/ math] significa establecer la igualdad (cada el elemento de un conjunto es un elemento del otro y viceversa), y [matemáticas] A + B [/ matemáticas] donde [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son conjuntos significa [matemáticas] \ {a + b \ mid a \ en A, b \ in B \} [/ math], el conjunto de todas las sumas de un elemento de cada conjunto.
(Si tiene curiosidad acerca de la definición [matemática] \ log x = \ int_1 ^ x \ frac {1} {z} dz [/ matemática], entiendo que las integrales sobre números complejos se definen como, tome cualquier ruta a través del plano complejo que comienza en 1 y termina en [matemáticas] x [/ matemáticas], e integra sobre esa ruta. Si la función se integra, en este caso [matemáticas] \ frac {1} {z} [/ matemáticas ], se comporta lo suficientemente bien y, en particular, siempre es finito, luego hay un teorema que dice que no importa qué camino elija, la integral siempre será la misma; sin embargo, [math] \ frac {1} {z} [/ math ] no es finito en [math] z = 0 [/ math]. Si la función se comporta suficientemente bien, excepto por algunos puntos llamados “polos”, como [math] z = 0 [/ math] en este caso, donde la función intenta ser infinita, entonces la integral actuará mucho como dije [math] \ log x [/ math] actúa en la definición [math] e ^ y = x [/ math]: habrá un valor específico, en este caso [matemática] 2 \ pi i [/ matemática], que es igual a la integral de una curva cerrada que da la vuelta un polo una vez y termina donde comienza (posiblemente múltiples valores para múltiples polos), y si [math] y = \ int_1 ^ x \ frac {1} {z} dz [/ math] es el valor a lo largo de una ruta, entonces todos los valores posibles en todas las rutas posibles serán que [math] y [/ math] más algún múltiplo de [math] 2 \ pi i [/ math]. Entonces, todo lo que dije sobre la definición [matemática] e ^ y = x [/ matemática] se aplica).