¿Por qué podemos asignar razonablemente un valor finito a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ math] pero no a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n }[/matemáticas]?

Answer 1

Hmmm … Riemann zeta funciona aquí.

El primero es [matemáticas] \ zeta (-1) [/ matemáticas], mientras que el segundo es [matemáticas] \ zeta (1) [/ matemáticas]

Es posible que haya visto pruebas de por qué el segundo valor es divergente.

Breve prueba:

[matemáticas] 1+ \ dfrac 12+ \ dfrac 13+ \ dfrac 14+ \ dfrac 15+ \ cdots [/ math]

[matemáticas] \ geq 1+ \ dfrac 12+ \ dfrac 14+ \ dfrac 14+ \ dfrac 18 + \ dfrac 18+ \ cdots [/ math]

[matemáticas] = 1+ \ dfrac 12+ \ dfrac 12+ \ dfrac 12+ \ cdots [/ math]

Entonces esta suma diverge.

La razón por la que podemos asignar algunos valores a [math] \ zeta (-1) [/ math] es a través de la continuación analítica .

Es bastante conocido que [math] \ zeta (z) [/ math], donde [math] \ textrm {Re} [/ math] [math] (z) \ geq 1 [/ math], [math] [ / math] y [math] z \ neq 1 [/ math] converge. Esto se debe a que incluso para números complejos, la parte imaginaria causa la rotación de cada término, y por lo tanto, si la parte real da un valor finito, también lo son los números complejos completos.

Pero lo único es que ¿por qué deberíamos limitarnos a que la parte real sea mayor o igual a 1? Entonces analíticamente continuamos la función zeta. La continuación analítica de una función debe cumplir criterios estrictos, por lo que, en esencia, solo se puede encontrar una de esas continuaciones. Y la ecuación funcional está en el siguiente enlace:

Función zeta de Riemann – Wikipedia

Si desea saber más sobre la continuación analítica de la función zeta de Riemann, mire este video de 3Blue1Brown:

Answer 2

Versión corta: el método de “continuación analítica” de suma divergente.

Ambas son sumas de la forma [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {- s} [/ math]. En el primer caso, [matemáticas] s = -1 [/ matemáticas]; en el segundo caso, [matemáticas] s = 1 [/ matemáticas]. Esta suma converge si [matemática] Re (s)> 1 [/ matemática]. Sin embargo, uno puede tomar la función de [math] s [/ math] definida por esta suma para la región apropiada del plano complejo y “extenderla” (únicamente, por un principio conocido como continuación analítica ) para definir una función que es “Agradable” (analítico) sobre mucho más del plano complejo. Esta extensión es lo que llamamos la función Riemann-Zeta . Esta extensión “agradable” da un valor finito para [math] s = -1 [/ math], pero aún da un valor infinito para [math] s = 1 [/ math], por lo que podemos usar este principio para la primera suma Pero no el segundo.