¿Cuál es el producto infinito de [matemáticas] \ cos (n) [/ matemáticas] ?
Esta pregunta podría interpretarse de (al menos) dos formas:
- [math] \ cos x [/ math] expresado como un producto infinito, o
- [matemáticas] \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ cos n [/ matemáticas]
Abordaré la segunda interpretación, en parte porque (mientras leo esta pregunta) parece más probable que esta fuera la intención del OP, y también porque la primera pregunta se puede resolver con una búsqueda rápida en Google (por ejemplo AQUÍ), o se puede construir directamente (como señaló Trevor Cheung en un comentario).
El producto infinito [math] \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ cos n [/ math] diverge.
- ¿Por qué podemos asignar razonablemente un valor finito a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ math] pero no a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n }[/matemáticas]?
- ¿Es este un hecho real sobre los logaritmos?
- ¿Por qué se expresan grandes cantidades de energía por (número) x (número con exponente)?
- If [math] A = (\ cos 12 ^ \ circ – \ cos 36 ^ \ circ) \ cdot (\ sin 96 ^ \ circ + \ sin 24 ^ \ circ) [/ math] [math] B = (\ sin 60 ^ \ circ – \ sin 12 ^ \ circ) \ cdot (\ cos 48 ^ \ circ – \ cos 72 ^ \ circ) [/ math] entonces qué es [math] \ frac {A} {B} [/ math ] ¿igual a?
- Cómo encontrar la suma de [matemáticas] -1 + 2-3 + 4-5 + \ ldots-99 [/ matemáticas]
Prueba: por definición, el producto infinito [math] \ prod_ {n = 1} ^ \ infty a_n [/ math] converge si la secuencia [math] \ lim_ {n \ to \ infty} p_n = L [/ math], donde [math] p_n = a_1a_2 \ cdots a_n [/ math] y [math] L [/ math] es finito y distinto de cero. (Como señala Wikipedia, algunos textos permiten la convergencia a 0 bajo ciertas condiciones restrictivas, pero no se aplican a este caso).
Para este producto, es imposible para [math] p_n \ to L \ ne 0 [/ math], porque la secuencia [math] \ {p_n \} [/ math] contiene un número infinito de valores positivos y negativos. (Entonces, por ejemplo, si [matemática] L> 0 [/ matemática], entonces podríamos encontrar infinitamente [matemática] p_n [/ matemática] tal que [matemática] | p_n-L |> L [/ matemática].)
Incluso si consideramos [math] \ {| p_n | \} [/ math], no podemos tener convergencia (excepto quizás a 0), porque cuando los factores en [math] \ prod_ {n = 1} ^ \ infty a_n [ / math] no son negativos, el producto converge si las series infinitas [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ ln a_n [/ math] convergen. Sabemos que [math] \ sum_ {n \ ge 1} \ ln | \ cos n | [/ math] diverge porque [math] \ ln | \ cos n | \ not \ to 0 [/ math]. Una forma de probar esto es notar que hay un número infinito de [matemáticas] n [/ matemáticas] que están dentro de (digamos) 0.1 de [matemáticas] \ frac \ pi2 + k \ pi [/ matemáticas], para algún número entero [matemáticas] k [/ matemáticas]. Para todos esos [matemática] n [/ matemática], [matemática] | \ cos n | <0.1 [/ matemática] entonces [matemática] \ ln | \ cos n | <-2.3 [/ matemática].