Cómo demostrar que tan (pi / 4 + 1/2 arccos a / b) + tan (pi / 4-1 / 2 arccos a / b) = 2b / a (ecuación MathJax en los detalles)

Answer 1

Deje que [math] \ frac {1} {2} arccos (\ frac {a} {b}) = y [/ math]

Por lo tanto, la ecuación requerida se convierte en

[matemáticas] \ frac {1 + tan (y)} {1-tan (y)} + \ frac {1-tan (y)} {1 + tan (y)} [/ matemáticas]

Simplificando la expresión anterior, obtenemos,

[matemáticas] \ frac {(1 + tan (y)) ^ {2} + (1-tan (y)) ^ {2}} {1-tan ^ {2} (y)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2seg ^ {2} (y)} {1-tan ^ {2} (y)} [/ matemáticas]

Al dividir el numerador y el denominador entre [matemáticas] segundos ^ {2} (y) [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] \ frac {2} {cos ^ {2} (y) -sin ^ {2} (y)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {2} {cos (2y)} [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] cos (2y) = cos (arccos (\ frac {a} {b})) [/ matemáticas]

[matemáticas] cos (2y) = \ frac {a} {b} [/ matemáticas]

Al ingresar el valor de [math] cos (2y) [/ math] en nuestra expresión obtenida, obtenemos la respuesta requerida.

Por lo tanto, la ecuación requerida es cierta.

Answer 2

tan A + tan B = sin A / cos A + sin B / cos B

= (sin A × cos B + sin B × cos A) / (cos A × cos B)

= sen (A + B) / (cos A × cos B)

En esta pregunta

A = π / 4 + (1/2) arcos a / b.

B = π / 4 – (1/2) arcos a / b.

A + B = π / 2.

Pasemos a la pregunta

tan A + tan B = sin π / 2 / (cos (π / 4 + (1/2) arccos a / b) × cos (π / 4 – (1/2) arccos a / b))… (B)

Usa esta fórmula

cos (C + D) × cos (CD) = (cos D) ^ 2 – (sin C) ^ 2

cos (π / 4 + (1/2) arccos a / b) × cos (π / 4 – (1/2) arccos a / b) = (cos (1 / 2arccos a / b)) ^ 2 – (cos π / 4) ^ 2. …… (A)

Vamos a cos (1 / 2arccos a / b) = y

1/2 arcos a / b = arcos y

arcos a / b = 2 arcos y

2arccos y = arccos (2y ^ 2–1)

arccos a / b = arccos (2y ^ 2–1)

2y ^ 2–1 = a / b

y ^ 2 = 1/2 (1 + a / b)

Poniendo cos (1 / 2arccos a / b) ^ 2 = y ^ 2 = 1/2 (1 + a / b) en (A) y cos π / 4 = 1 / √2.

cos (π / 4 + (1/2) arccos a / b) × cos (π / 4 – (1/2) arccos a / b) = 1/2 + a / 2b- 1/2 = a / 2b.

Usando la ecuación (B)

tan A + tan B = sin π / 2 / (cos (π / 4 + (1/2) arccos a / b) × cos (π / 4 – (1/2) arccos a / b))

tan (π / 4 + (1/2) arccos a / b) + tan (π / 4 – (1/2) arccos a / b) = 1 / (a ​​/ 2b) = 2b / a.

= 2b / a.

Answer 3

Referir imagen. Lo siento, la cámara de mi teléfono no es tan buena.