¿Cuáles son las raíces primitivas de 26? ¿Cómo los calculo y cómo los pruebo?

Answer 1

[matemáticas] 26 = 2 \ cdot13 [/ matemáticas], por lo que tenemos un orden máximo de [matemáticas] \ phi (26) = \ phi (2) \ cdot \ phi (13) = 12 [/ matemáticas], y nosotros tener exactamente [math] \ phi (\ phi (26)) = \ phi (12) = 4 [/ math] elementos de orden máximo.

Buscaremos elementos coprimos de órdenes que sean potencias principales que dividen [math] \ phi (26) = 2 ^ {2} \ cdot3 [/ math], y luego los multiplicaremos en todas las combinaciones apropiadas para encontrar elementos de orden superior, hasta Alcanzamos el máximo.

Primero, busquemos todos los elementos de orden [matemática] 2 ^ {2} = 4 [/ matemática]: Hay [matemática] \ phi (4) = 2 [/ matemática] elementos de orden [matemática] 4 [/ matemática], y tenemos que [matemática] 5 ^ {2} = 25 \ equiv -1 \ mod {26} [/ matemática], entonces [matemática] 5 [/ matemática] tiene orden [matemática] 4 [/ matemática] . También lo hace [matemáticas] -5 [/ matemáticas]. En total, tenemos [math] \ {- 5,5 \} [/ math].

Ahora hagamos lo mismo para el orden [math] 3 [/ math]: También hay [math] \ phi (3) = 2 [/ math] elementos del orden [math] 3 [/ math]: es fácil ver que [matemática] 3 ^ {3} = 27 \ equiv 1 \ mod {26} [/ matemática], entonces [matemática] 3 [/ matemática] tiene orden [matemática] 3 [/ matemática]. Lo mismo ocurre con [matemáticas] 3 ^ {2} = 9 [/ matemáticas]. En total, tenemos [matemáticas] \ {3,9 \} [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestro conjunto de soluciones es [math] \ {- 5,5 \} \ cdot \ {3,9 \} = \ {7,11,15,19 \} [/ math]:

[matemáticas] 3 \ cdot5 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ cdot-5 = -15 \ equiv 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 \ cdot5 = 45 \ equiv 19 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 \ cdot-5 \ equiv -19 \ equiv 7 [/ matemáticas]