¿Cuál es la suma de [matemáticas] 1 \ veces 3 + 5 \ veces 3 + 9 \ veces 3 + 13 \ veces 3 + \ cdots + 3 (2n + 1) [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero lo primero!

Hay un error en la forma general del término final que es inconsistente con la progresión de esta suma finita.

La suma dada comienza,

[matemáticas] \ displaystyle 3 \ cdot (1) + 3 \ cdot (5) + 3 \ cdot (9) + 3 \ cdot (13) + \ ldots + 3 \ cdot (2n + 1) \ tag {1} [ /matemáticas]

Sin embargo, el último término sugiere un término general de,

[matemática] 3 \ cdot (2k – 1) \ quad [/ matemática] desde [matemática] \ [/ matemática] [matemática] k [/ matemática] [matemática] = 1 \ \ [/ matemática] a [matemática] \ \ [/ matemáticas] [matemáticas] n + 1, [/ matemáticas]

lo que haría que la suma se viera así,

[matemáticas] \ displaystyle 3 \ cdot (1) + 3 \ cdot (3) + 3 \ cdot (5) + 3 \ cdot (7) + 3 \ cdot (9) + 3 \ cdot (11) + 3 \ cdot (13) + \ ldots + 3 \ cdot (2n + 1) \ tag * {} [/ math]

En comparación con [matemáticas] (1) [/ matemáticas], esta progresión contiene muchos términos adicionales, por lo que suponemos que se cometió un error en la forma del término final. Por lo tanto, por coherencia tomamos la forma del término final para ser,

[matemáticas] \ displaystyle 3 \ cdot (4k – 3) \ \ \ [/ matemáticas] con la progresión que va desde [matemáticas] \ k = 1 \ \ [/ matemáticas] a [matemáticas] \ \ n [/ matemáticas].

Con eso aclarado, tenemos una suma de una progresión aritmética finita. [matemáticas] (2) [/ matemáticas] es la versión correcta de [matemáticas] (1). [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S_ {n} = 3 \ cdot (1) + 3 \ cdot (5) + 3 \ cdot (9) + 3 \ cdot (13) + \ ldots + 3 \ cdot (4n – 3) \ quad n \ ge 1, \ quad n \ in \ mathbb {N} \ tag {2} [/ math]

Usando la notación de suma que tenemos,

[matemáticas] \ displaystyle S_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 3 \, (4 \, k – 3) = 3 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, ( 4 \, k – 3) \ tag {3} [/ matemáticas]

Invertir el orden de suma de ascendente a descendente,

[matemáticas] \ displaystyle \ quad \ S_ {n} = 3 \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {n} 4 \, (n + 1-k) – 3 \ right) \ quad \ tag {4} [/matemáticas]

Sumando las ecuaciones [matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle 2 \, S_ {n} = 3 \, \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, (4 \, k – 3) + 3 \, \ left (\ sum_ {k = 1 } ^ {n} 4 \, (n + 1-k) – 3 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = 3 \, \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, (4 \, k – 3) + 3 \, \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {n} 4 \, n + 4 -4 \, k – 3 \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, (12 \, k – 9) + \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {n} 12 \, n + 12 -12 \, k – 9 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 12 \, k \, – 3 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 3 \, + \ sum_ {k = 1} ^ {n} 12 \, n \, + \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 3 \, – \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 12 \, k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = \ sum_ {k = 1} ^ {n} 12 \, n \, – 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = 12 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, n \, – 6 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 1 = 12 \, n \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 1 \, – 6 \ sum_ {k = 1} ^ {n} \, 1 = 12 \, n \, (n) \, – 6 \, (n) [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle \ qquad = 6 \, n \, (2n – 1) = 12 \, n ^ 2 – 6 \, n [/ matemáticas]

Entonces tenemos el doble de la suma requerida,

[matemáticas] \ displaystyle \ large 2 \, S_ {n} = 6 \, n \, (2n – 1) = 12 \, n ^ 2 – 6 \, n \ tag * {} [/ matemáticas]

Y después de dividir entre [matemáticas] 2, [/ matemáticas] obtenemos el resultado deseado para [matemáticas] (2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (3) [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle \ large S_ {n} = 3 \, n \, (2n – 1) = 6 \, n ^ 2 – 3 \, n \ tag * {} [/ matemáticas]

Y hemos terminado!

[matemáticas] \ enorme {\ ddot \ smile} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] 1 \ times3 + 5 \ times3 + 9 \ times3 + \ cdots \\\ text {El último término viene dado por….} \\ a_n = 3 (1 + 4 (n-1)) = 3 (4n- 3) = 12n-9 \\ ———————- \\\ begin {ecation} \ begin {split} S & = \ sum_ \ limits {i = 1} ^ n12n-9 \\ & = 12 \ sum_ \ limits {i = 1} ^ nn-9 \ sum_ \ limits {i = 1} ^ n1 \\ & = 12 \ cdot \ dfrac {n (n + 1)} {2} -9n \\ & = 6n ^ 2 + 6n-9n \\ S & = \ boxed {3n (2n-1)} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Supongo que el último término es [matemáticas] 3 (4n + 1) [/ matemáticas].

Esa es una secuencia aritmética: podemos mostrar que la diferencia entre dos términos consecutivos es [matemática] 12 [/ matemática]. La suma de una secuencia aritmética es [math] \ dfrac {n (a_1 + a_n)} 2 [/ math], donde [math] a_1 [/ math] es el primer elemento. [math] a_n [/ math] el último elemento, y [math] n [/ math] el número de elementos.

Entonces, tenemos elementos [math] n + 1 [/ math]. El primer elemento es [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y el último elemento es [matemáticas] 3 (4n + 1) [/ matemáticas].

Entonces, la suma es [matemáticas] \ dfrac {(n + 1) \ bigl (3 + 3 (4n + 1) \ bigr)} 2 = \ dfrac {(n + 1) (6 + 12n)} 2 = 3 ( n + 1) (2n + 1) = \ boxed {6n ^ 2 + 9n + 3} [/ math].

Answer 4

3 (1 + 5 + 9 + 13 +… + 2n + 1)

= 3 (((((2n + 1–1) / 4) +1) / 2) (1 + 2n + 1)

= 3 (((n / 2) +1) / 2) (2n + 2)

= 3 ((n + 2) / 4) (2n + 2)

= 3 ((n + 2) / 4) (2) (n + 1)

= 3 ((n + 2) / 2) (n + 1)

= 3/2 (n + 2) (n + 1)

O

= (3 (n ^ 2 + 3n + 2)) / 2