Muchas respuestas aquí para la pregunta específica, pero creo que agregaré mis 2 centavos y trataré de hacerlo más general y menos arbitrario.
Lo que desea, la suma de los primeros n elementos de la secuencia [matemática] x ^ 2 [/ matemática], es un caso particular de una pregunta general:
¿Cuál es la suma de los primeros n elementos de la secuencia p (x) donde p es un polinomio arbitrario?
Otros ejemplos incluyen
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[matemáticas] \ sum_ {x = 1} ^ {n} x ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {x = 1} ^ {n} x (x + 1) / 2 [/ matemáticas]
etc.
La forma sistemática de resolver este tipo de problema es
- Observe que, si el grado de p es k , la suma es un polinomio de grado k + 1.
- Observe que un polinomio de grado k + 1 está determinado por k + 2 de sus valores.
Mostraré un poco por qué la primera parte es verdadera, pero supongamos que es por un tiempo y usemos la segunda parte para encontrar nuestra respuesta.
Si sabemos que la suma es un polinomio de grado 3 (= 2 + 1), es decir
[matemáticas] a_3 x ^ 3 + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_0 [/ matemáticas]
solo necesitamos mirar los primeros cuatro valores para descubrir cuáles son los coeficientes.
[matemáticas] a_3 0 ^ 3 + a_2 0 ^ 2 + a_1 0 + a_0 = a_0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_3 1 ^ 3 + a_2 1 ^ 2 + a_1 1 + a_0 = a_3 + a_2 + a_1 + a_0 = a_3 + a_2 + a_1 = 1 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_3 2 ^ 3 + a_2 2 ^ 2 + a_1 2 + a_0 = 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_3 3 ^ 3 + a_2 3 ^ 2 + a_1 3 + a_0 = 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 14 [/ matemáticas]
Ahora tenemos [math] a_0 = 0 [/ math] y un conjunto de tres ecuaciones lineales en 3 variables
[matemáticas] a_3 + a_2 + a_1 = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 = 14 [/ matemáticas]
Que podemos resolver para obtener
[matemáticas] a_3 = 1/3 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_2 = 1/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_1 = 1/6 [/ matemáticas]
es decir
La respuesta es
[matemáticas] n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6 [/ matemáticas]
Entonces, ¿por qué la suma de los primeros n valores de un polinomio p de grado k es un polinomio de grado <= k + 1 ?
Supongamos que la suma S (n) es un polinomio de grado j> k + 1
[matemáticas] S (n) = a_j n ^ j +… + a_1 n + a_0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p (n) = b_k n ^ k +…. + b_1 n + b_0 [/ matemáticas]
Pero
[matemáticas] S (n + 1) = S (n) + p (n + 1) [/ matemáticas]
Veamos el término de grado j-1 sobre esta igualdad
[matemática] S (n + 1) = a_j (n + 1) ^ j + a_ {j-1} (n + 1) ^ {j-1} + [/ matemática] términos de menor grado = [matemática] a_j n ^ j + j a_j n ^ {j-1} + a_ {j-1} n ^ {j-1} [/ math] + tsd
[matemáticas] S (n) = a_j n ^ j + a_ {j-1} n ^ {j-1} + tsd [/ matemáticas]
[matemáticas] p (n + 1) = 0 n ^ j + 0 n ^ {j-1} + tsd [/ matemáticas], ya que j> k + 1
Por lo tanto,
[matemáticas] j a_j + a_ {j-1} = a_ {j-1} [/ matemáticas]
es decir
[matemáticas] a_j = 0 [/ matemáticas]
es decir, el grado de [matemáticas] S (n) [/ matemáticas] es en realidad menor que [matemáticas] j [/ matemáticas], lo que contradice la suposición. (O si quiere pensar de otra manera, ahora que sabemos que el grado es j-1, podemos concluir que [math] a_ {j-1} [/ math] también es 0, y así sucesivamente, mientras que j- 1> k)