Mira este gráfico,
Sé que puede ser difícil entender la pendiente de tal función en cualquier momento. La manera simple de visualizar esto es imaginarte acercándote extremadamente cerca de la función en un punto. Para este ejemplo, acercaré a [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas],
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Curiosamente, ni siquiera hemos acercado demasiado, sin embargo, la función ya comienza a parecerse a una línea recta. La derivada de una función en un punto es equivalente a acercarse infinitamente cerca de una función en un punto y encontrar la pendiente de la línea que encontramos.
Para [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática], la pendiente infinitesimal de la función en un punto, [matemática] x [/ matemática], resulta ser [matemática] 2x [/ matemática]. Por lo tanto, la pendiente de la función [matemática] x ^ 2 [/ matemática] en el punto que se muestra en la imagen es [matemática] 4 [/ matemática].
La idea es que, siempre que acerque lo suficiente, casi cualquier función se verá como una línea recta en algún momento.
La derivada encuentra la pendiente de la línea cuando te acercas infinitamente. Una función que no se enderezará, no importa qué tan cerca se acerque, no se considera una función uniforme, y la derivada en ese punto no está definida.
Aquí hay un buen ejemplo de una función que se ve bien, pero su derivada no está definida; Es continuo en todas partes, y se define en cada punto, pero no es suave ni diferenciable en ninguna parte. Esto se debe a que no importa qué tan cerca se encuentre, la función siempre está en zigzag hacia atrás y cuarto;
Esto como una función de Weierstrass. El que se muestra se define como la siguiente ecuación;
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ cos {\ left (12 ^ {n} x \ right)}} {2 ^ {n}} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ cos {\ left (x \ right)} + \ frac {\ cos {\ left (12x \ right)}} {2} + \ frac {\ cos {\ left (144x \ right)} } {4} +… [/ matemáticas]
Acercándose muy cerca de la ecuación,
Las cosas comienzan a ponerse feas muy rápido. Solo hemos ampliado un factor de [matemática] 200 [/ matemática], y todo ya parece una línea vertical, y la pendiente de una línea vertical no está definida. Si bien estas líneas no son completamente verticales, el límite a medida que se acerca a escalas infinitamente pequeñas conduce a que las pendientes de las líneas se aproximen al infinito. Muy interesante.
Espero que esto haya ayudado, los derivados pueden ser difíciles de visualizar, pero ese es el truco. Si puedes visualizar el cálculo, estás listo.