¿Por qué es [matemáticas] \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {2} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {3} {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2} + … [/ Matemáticas] igual a [matemáticas] 6 (\ ln (4) -1) [/ matemáticas]?

Answer 1

Supongo que conoces algunas identidades básicas.

[matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] = \ frac {1} {1 ^ {2}} + \ frac {2} {1 ^ {2} + 2 ^ {2}} + …… [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {1 ^ {2} + 2 ^ {2} + …… + n ^ {2}} [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] 1 ^ {2} + 2 ^ {2} +… .. + n ^ {2} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {6} {(n + 1) (2n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 12 \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {(2n + 2) (2n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 12 \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ big ([/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2n + 1} – \ frac {1} {2n + 2 } \ grande) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 12 \ grande (\ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {6} + …… \ grande) —————- (1) [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] ln (1 + x) = x – \ frac {x ^ {2}} {2} + \ frac {x ^ {3}} {3} – \ frac {x ^ {4}} { 4} + ……. [/ Matemáticas]

Poner [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (2) = 1 – \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} – …… [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (2) – \ frac {1} {2} = \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} – …… ———— – (2) [/ matemáticas]

De (1) y (2),

[matemática] x = 12 \ grande (ln (2) – \ frac {1} {2} \ grande) [/ matemática]

[matemáticas] x = 6 (ln (4) – 1) [/ matemáticas]

Espero que esto ayude

Answer 2

Tenga en cuenta que:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 = \ frac n6 (n + 1) (2n + 1) [/ matemáticas]

Entonces su suma es:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac n {\ frac n6 (n + 1) (2n + 1)} [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle 6 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {(n + 1) (2n + 1)} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle 6 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 2 {2n + 1} – \ frac 1 {n + 1} [/ math]

[matemática] = \ displaystyle 6 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {n + \ frac 12} – \ frac 1 {n + 1} [/ math]

Eso le ayudará a empezar…