La fórmula de Euler es
[matemáticas] e ^ {iz} = \ cos z + i \ sin z [/ matemáticas]
Su conjugado es
[matemáticas] e ^ {- iz} = \ cos z – i \ sin z [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el mayor dominio y rango posible para (x + 2) / (x-1)?
- ¿Cuál es la diferencia en: 5 + -4 y 5 – -4?
- ¿Cuál es la suma de [matemáticas] 1 \ veces 3 + 5 \ veces 3 + 9 \ veces 3 + 13 \ veces 3 + \ cdots + 3 (2n + 1) [/ matemáticas]?
- Si [math] f (x, y, z) = xy ^ {2} + z ^ {y} [/ math], entonces ¿qué es [math] \ bigtriangledown \ cdot f [/ math]?
- ¿Cuál es el enésimo término de la serie 1 ^ 2, (1 ^ 2 + 2 ^ 2), (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2)?
Agregando,
[matemáticas] e ^ {iz} + e ^ {- iz} = 2 \ cos z [/ matemáticas]
Restando,
[matemáticas] e ^ {iz} – e ^ {- iz} = 2i \ sin z [/ matemáticas]
Dividiendo los dos últimos
[matemáticas] \ dfrac {i \ sin z} {\ cos z} = \ dfrac {e ^ {iz} – e ^ {- iz}} {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} [/ math ]
[matemáticas] \ tan z = -i \ dfrac {e ^ {iz} – e ^ {- iz}} {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} [/ matemáticas]
Entonces ahora tenemos una definición de tangente de un número complejo.
Recordemos que
[matemáticas] \ cosh z = \ frac 1 2 (e ^ z + e ^ {- z}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sinh z = \ frac 1 2 (e ^ z – e ^ {- z}) [/ matemáticas]
En nuestro caso, [matemáticas] z = 2-i [/ matemáticas]
[matemáticas] iz = 1 + 2i [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {1 + 2i} = e ^ 1 e ^ {2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {- 1 – 2i} = e ^ {- 1} e ^ {- 2i} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan z = -i \ dfrac {e ^ 1 e ^ {2i} – e ^ {- 1} e ^ {- 2i}} {e ^ 1 e ^ {2i} + e ^ {- 1} e ^ {- 2i}} [/ matemáticas]
Estamos interesados en [math] | \ tan z | ^ 2 [/ math], que es [math] \ tan z [/ math] multiplicado por su conjugado. El factor de [math] -i [/ math] desaparece; Tiene magnitud 1.
[matemáticas] | \ tan z | ^ 2 = \ left (\ dfrac {e ^ 1 e ^ {2i} – e ^ {- 1} e ^ {- 2i}} {e ^ 1 e ^ {2i} + e ^ {- 1 } e ^ {- 2i}} \ right) \ left (\ dfrac {e ^ 1 e ^ {- 2i} – e ^ {- 1} e ^ {2i}} {e ^ 1 e ^ {- 2i} + e ^ {- 1} e ^ {2i}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {e ^ 2 – e ^ {4i} – e ^ {- 4i} + e ^ {- 2}} {e ^ 2 + e ^ {4i} + e ^ {- 4i} + e ^ {- 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {(e ^ 2 + e ^ {- 2}) – (e ^ {4i} + e ^ {- 4i})} {(e ^ 2 + e ^ {- 2}) + ( e ^ {4i} + e ^ {- 4i})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {2 \ cosh 2 – 2 \ cos 4} {2 \ cosh 2+ 2 \ cos 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] | \ tan z | ^ 2 = \ dfrac {\ cosh 2 – \ cos 4} {\ cosh 2 + \ cos 4} [/ math]
Eso no es exactamente lo que la pregunta decía que sería, pero voy a presionar enviar y mirarlo.