De acuerdo, la respuesta completa (-ish) a esto es un poco larga y viene en varias partes. Jugaré un poco rápido y suelto con rigor matemático, pero espero que todo tenga un sentido razonable. Comenzaré con todo en el contexto de 3D, lo reescribiré para que sea independiente del número de dimensiones y luego subiré a 4D (o realmente cualquier dimensión).
Tenga en cuenta que esta respuesta introducirá los conceptos de dominios conectados y simplemente conectados, formas diferenciales y derivadas exteriores. Seré tan informal y basado en ejemplos como pueda, pero podría ser mucho.
Parte 1: ¿Qué es un campo conservador?
Matemáticamente, un campo vectorial [matemático] \ vec F (x, y, z) = F_x \ hat x + F_y \ hat y + F_z \ hat z [/ matemático] es conservador si existe una función escalar [matemática] \ phi (x, y, z) [/ math] tal que
- ¿Por qué es [matemáticas] \ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {2} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {3} {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2} + … [/ Matemáticas] igual a [matemáticas] 6 (\ ln (4) -1) [/ matemáticas]?
- ¿El álgebra de los números imaginarios y complejos está completamente establecido?
- ¿Puede explicar por qué | tan (2-i) | = sqrt ((cosh2-cos4) / (sinh2 + cos4))? Tengo la respuesta pero también necesito la solución.
- ¿Cuál es el mayor dominio y rango posible para (x + 2) / (x-1)?
- ¿Cuál es la diferencia en: 5 + -4 y 5 – -4?
[matemáticas] \ vec F = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat x + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat y + \ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial z} \ hat z [/ math]
En nuestra clase de cálculo de vectores de preescolar, aprendimos que el rizo de un gradiente siempre es igual a cero:
[matemáticas] \ nabla \ veces \ nabla \ phi \ equiv 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, se deduce que si un campo vectorial es conservador, entonces su curvatura es igual a cero. ¿Es verdad lo contrario? Es decir, si un campo vectorial tiene curvatura cero, ¿eso significa necesariamente que es conservador?
La respuesta a eso es, en general, no . Sin embargo, si el dominio sobre el que se define el campo vectorial está simplemente conectado, entonces la respuesta es sí, por lo que a partir de ahora asumiremos que este es el caso.
Tiempo de espera: ¿qué significa eso?
Suspiro. Multa.
Parte 2: ¿Qué significa simplemente conectado?
Un dominio está conectado si, dados dos puntos A y B en el dominio, puede moverse a través de un baño continuo de A a B. Simplemente está conectado si (a) está conectado, y (b) cada ruta cerrada en el El dominio se puede reducir a un punto sin abandonar el espacio. Si esto es demasiado abstracto, aquí hay una imagen de Wikipedia:
Las regiones coloreadas en las imágenes son los dominios, mientras que las regiones blancas no están incluidas, y las líneas negras son los límites.
Los conjuntos A, B, C y D están conectados, porque puedo comenzar en cualquier lugar y llegar a cualquier otro lugar sin abandonar el dominio: el conjunto E (la unión de todas las “islas”) está desconectado.
Además, los Conjuntos A y B están simplemente conectados porque si hago un bucle cerrado, puedo reducirlo a un punto. Tenga en cuenta que no puedo encerrar la gran región central en B, porque el límite me impide completar el ciclo. El conjunto C no está simplemente conectado, porque si envuelvo mi camino alrededor del “agujero” central, entonces no puedo encogerlo completamente: se atasca en el límite del agujero como una banda de goma envuelta alrededor de una taza. El conjunto D no está simplemente conectado por la misma razón: podría rodear cualquiera de los pequeños espacios (o varios, por supuesto). El conjunto E no está simplemente conectado porque ni siquiera está conectado; sin embargo, cada subconjunto individual ([matemáticas] E_1, E_2, E_3, E_4 [/ matemáticas]) está conectado y simplemente conectado.
¿Puedo tener un ejemplo?
Seguro Por qué no. Tome el campo vectorial definido por
[matemáticas] \ vec F = \ frac {-y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} \ hat x + \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} \ hat y + 0 \ hat z [/ math]
¿Cuál es el dominio de esta función? Es tentador decir todo el espacio 3D, pero desgraciadamente, la línea donde [math] x = y = 0 [/ math] no se puede incluir, ya que la función no está definida allí. De ello se deduce que el dominio no está simplemente conectado: cualquier circuito cerrado que encierra la línea donde [math] x = y = 0 [/ math] no puede reducirse a un punto.
Si calcula el rizo de esa función, encontrará que es igual a cero; sin embargo, la función no necesita ser conservadora (y no lo es), porque el dominio no está simplemente conectado.
Bien, entonces tenemos una idea de las trampas que debemos evitar. De ahora en adelante, supondremos que los dominios están simplemente conectados, ¿de acuerdo? Kay En ese caso, tener curvatura cero implica que la función resulta ser conservadora. Esto se desprende del Teorema de Stokes, una vez más presentado en nuestra clase de cálculo de vectores preescolar.
Parte 3a: formas diferenciales
Bien, aquí es donde probablemente nos saldremos un poco del camino habitual, así que tengan paciencia conmigo. Voy a definir esta cosa llamada forma diferencial .
Digamos que tengo tres variables como antes, [math] (x, y, z) [/ math]. Una función escalar regular como [math] \ phi (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 [/ math] se llama forma 0 . Un formulario 1 es muy parecido a un campo vectorial; un ejemplo podría ser
[matemáticas] F = (x ^ 2 + y ^ 2) dx + (x ^ 2 – y ^ 2) dy + (z ^ 2) dz [/ matemáticas]
Espere. ¿Qué se supone que son dx, dy y dz?
Esas son en realidad las formas 1 que mencioné. Puse los paréntesis allí por una razón: [math] dx, dy [/ math] y [math] dz [/ math] no son solo números antiguos regulares. Puede pensar en ellos como los vectores base [matemática] \ hat x, \ hat y, [/ math] y [math] \ hat z [/ math], pero con algunas propiedades adicionales. En esencia, entonces, una forma general de 1 es una combinación lineal de las formas básicas de 1 [math] dx, dy [/ math] y [math] dz [/ math].
De acuerdo, parece razonable (aunque extraño) hasta ahora … ¿existe una forma de 2 entonces?
¡Me alegra que lo hayas preguntado! De hecho hay. El producto de dos formas 1 es una forma 2, pero tiene que ser un tipo especial de producto, lo llamamos un producto de cuña. Un ejemplo de una base de 2 formas podría ser
[matemática] dx \ wedge dy [/ matemática]
El producto de cuña es muy especial: solo actúa entre formas (no tiene sentido preguntar qué es [matemática] 1 \ cuña 2 [/ matemática]), y es antisimétrico, lo que significa que
[math] dx \ wedge dy = – dy \ wedge dx [/ math]
Debe quedar claro que esto significa inmediatamente que
[matemática] dx \ wedge dx = dy \ wedge dy = dz \ wedge dz = 0 [/ math]
Como ejemplo, esta es una forma 2:
[matemáticas] F = (3x ^ 2y ^ 2) dx \ wedge dy + (2xyz) dy \ wedge dx + 4x ^ 2z dz \ wedge dx [/ math]
y puedo simplificarlo (porque [math] dy \ wedge dx = – dx \ wedge dy [/ math]):
[matemática] F = (3x ^ 2y ^ 2 – 2xyz) dx \ wedge dy + 4x ^ 2z dz \ wedge dx [/ math]
De acuerdo, lo entiendo. Entonces, una combinación lineal de dx, dy y dz es una forma 1, mientras que una combinación lineal de [math] dx \ wedge dy, dy \ wedge dz, [/ math] y [math] dz \ wedge dx [/ math ] es una forma de 2. ¿Existe tal cosa como una forma 3? ¿Como [math] dx \ wedge dy \ wedge dz [/ math] ? Debe haber solo 1, ¿verdad?
Maldición, eres un monólogo interno perceptivo. Si solo tengo 3 variables, no puedo tener nada más alto que una forma 3, porque tendría que repetir algunas formas 1 en el producto de cuña grande, y sabemos que la naturaleza antisimétrica de la cuña significa que tal cosa sería igual a cero.
Parte 3b: Derivados exteriores
Juro por Dios que ya casi llegamos. Si nunca has visto nada de esto antes, tómate un descanso, porque estamos a punto de llevarlo a casa.
Permítanme definir la derivada exterior de una forma 0:
[matemáticas] d \ phi = \ left (\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ right) dx + \ left (\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ right) dy + \ left (\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ right) dz [/ math]
Básicamente aplico todas mis derivadas parciales, multiplicadas por la forma 1 correspondiente. Fácil, verdad? Es solo el operador de gradiente, con las formas 1 tomando el lugar de los vectores básicos habituales.
¿Qué pasa con la derivada exterior de una forma 1? Aquí es donde las cosas se vuelven locas. Digamos que tengo algo de 1 forma
[matemáticas] F = F_x dx + F_y dy + F_z dz [/ matemáticas]
Ahora tomo la derivada exterior. Las formas que provienen de la diferenciación se multiplican en cuña desde la izquierda, entonces:
[Matemáticas] dF = \ frac {\ partial F_x} {\ partial x} dx \ wedge dx + \ frac {\ partial F_x} {\ partial y} dy \ wedge dx + \ frac {\ partial F_x} {\ partial z } dz \ wedge dx +… [/ math]
Ese es solo el primer término ([math] F_x [/ math]), por lo que quedan dos más, pero debería ver el patrón. Tenga en cuenta también que el término [math] dx \ wedge dx [/ math] es cero, ¿verdad?
Dejaré que verifique esto, pero si reúno todas esas cosas y simplifico, obtengo
[matemáticas] df = \ left (\ frac {\ partial F_y} {\ partial z} – \ frac {\ partial F_z} {\ partial y} \ right) dy \ wedge dz + \ left (\ frac {\ partial F_x } {\ partial z} – \ frac {\ partial F_z} {\ partial x} \ right) dz \ wedge dx + \ left (\ frac {\ partial F_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F_x} {\ parcial y} \ derecha) dx \ wedge dy [/ math]
Ahora las alarmas deberían estar sonando. Expresado de esa manera, ¡la derivada exterior de una forma 1 se parece al rizo! Por supuesto, lo arreglé para que fuera lo más obvio posible, pero aún así. Los signos menos provienen del intercambio de las formas 2 antisimétricas.
La última parte la dejaré para que la verifiques, pero si tomas la derivada exterior de una función dos veces, siempre obtienes cero. Esto se deduce del hecho de que las segundas derivadas se pueden tomar en cualquier orden. Por lo tanto, si [math] \ phi [/ math] es cualquier forma (forma 0, forma 1, forma 8, lo que sea), entonces
[matemáticas] d (d \ phi) = d ^ 2 \ phi = 0 [/ matemáticas]
¿Podemos interpretar esto en el contexto de lo que ya sabemos? Pero por supuesto que podemos. Esto equivale a decir que la curvatura de un gradiente es igual a cero (si [matemática] \ phi [/ matemática] es una forma 0) y que la divergencia de una curvatura es igual a cero (si [matemática] \ phi [ / math] es una forma 1). Increíble, ¿verdad? Todo es básicamente lo mismo.
Parte 4: Campos conservadores revisitados
Alguna terminología de la última sección: si una forma [matemática] F [/ matemática] puede escribirse como la derivada exterior de alguna otra forma (es decir, [matemática] F = d \ phi [/ matemática]), entonces se llama exacta. Si la derivada exterior de una forma [matemática] F [/ matemática] es igual a cero (es decir, [matemática] dF = 0 [/ matemática]), entonces se llama cerrada.
Debido a que tomar la derivada exterior dos veces (¿ya lo resolvió usted mismo?) Siempre le da 0, está claro que también se debe perder cualquier forma exacta . ¿Es cierto lo contrario? Si un formulario está cerrado, ¿eso significa que es exacto?
¡Esta es una versión generalizada de la Parte 1! Y la respuesta es la misma: generalmente no, pero si el dominio sobre el que se define el formulario está simplemente conectado, entonces SÍ. Y si aún no lo ha adivinado, una forma exacta de 1 corresponde a un campo vectorial conservador.
Ya hemos terminado! Suponiendo que el dominio está simplemente conectado, podemos simplemente convertir el campo vectorial en cuestión como una forma 1, luego tomar la derivada exterior. Si obtenemos cero, entonces la forma 1 está cerrada, porque el dominio está simplemente conectado, entonces también es exacto y puede escribirse como la derivada exterior de alguna forma 0 [math] \ phi [/ math]. En consecuencia, el campo vectorial original se puede escribir como el gradiente de [math] \ phi [/ math], por lo que es conservador.
Tenga en cuenta que no dijimos nada sobre cuántas dimensiones estaban involucradas. En 3D, esto se reduce al viejo argumento “si el rizo es cero, el campo es conservador”, pero el rizo solo se define en 3D. En 4D, nuestro nuevo cálculo exterior brillante proporciona la respuesta.
Parte 5: El resultado explícito
Para ser más completo, escribiré todo para usted usando las variables [matemáticas] (x, y, z, w) [/ matemáticas]. De nada.
Si [math] \ vec F = F_x \ hat x + F_y \ hat y + F_z \ hat z + F_w \ hat w [/ math], defina una forma 1
[matemática] F = F_x dx + F_y dy + F_z dz + F_w dw [/ matemática]
La derivada exterior de F es:
[math] dF = \ left (\ frac {\ partial F_y} {\ partial x} – \ frac {\ partial F_x} {\ partial y} \ right) dx \ wedge dy [/ math]
[matemáticas] + \ left (\ frac {\ partial F_z} {\ partial y} – \ frac {\ partial F_y} {\ partial z} \ right) dy \ wedge dz [/ math]
[matemáticas] + \ left (\ frac {\ partial F_w} {\ partial z} – \ frac {\ partial F_z} {\ partial w} \ right) dz \ wedge dw [/ math]
[matemáticas] + \ left (\ frac {\ partial F_x} {\ partial w} – \ frac {\ partial F_w} {\ partial x} \ right) dw \ wedge dx [/ math]
Si lo anterior es igual a cero, entonces [math] \ vec F [/ math] es un campo vectorial conservador.
Uf. Todo listo. Supongo que podría haber escrito esto al principio y evitar toda la exposición, pero ¿dónde está la diversión en eso?
Es casi seguro que cometí un error tipográfico (o doce), así que corríjalo según sea necesario. Probablemente guardaré esto como una publicación de blog también, porque maldición.