Técnicamente, no lo hace. Por ejemplo, [matemática] \ left (- \ frac {1} {3} \ right) ^ {- \ frac {1} {3}} = – \ sqrt [3] {3} [/ math]. La gráfica de [matemática] y = x ^ x [/ matemática] tiene puntos negativos, ya sea que eso signifique puntos con coordenadas negativas [matemática] x [/ matemática] o puntos con coordenadas negativas [matemática] y [/ matemática] ; Este gráfico tiene ambos tipos de puntos.
Sin embargo, para la mayoría de los valores negativos [matemática] x [/ matemática], [matemática] x ^ x [/ matemática] no se define en el contexto de números reales. La razón de esto es que, si un número negativo se lleva a un poder irracional, el resultado no se define como un número real. Una razón para no definirlo es considerar lo que significa llevar un número real a un poder irracional, decir algo como [matemáticas] x ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas].
Una forma de definir esto sería dejar que el exponente sea una secuencia de números racionales, aproximándose al exponente real (que es [math] \ sqrt {2} [/ math] en este caso). Por lo tanto, se puede hablar de, por ejemplo, [matemáticas] x ^ {1} [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ {1.4} [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ {1.41} [/ matemáticas], [matemáticas ] x ^ {1.414} [/ math], [math] x ^ {1.4142} [/ math], y así sucesivamente. Cuando [math] x [/ math] es positivo, esta secuencia converge a (se acerca) algún número. Sin embargo, cuando [math] x [/ math] es negativo, muchos de los números en esta secuencia no están definidos, por ejemplo, todos aquellos en los que el último dígito es impar. Incluso si esta secuencia tiene un límite definido, otro no lo tendrá. Por ejemplo, en lugar de truncar la expansión decimal, elija si redondear hacia arriba o hacia abajo utilizando cualquier forma que dé un último dígito impar (“redondeo bancario”, excepto que se redondea a un dígito par). Esto daría una secuencia completamente indefinida (ignorando su primera entrada). Ese es el principal problema al tratar de aproximar un número negativo a un exponente irracional: los diversos números racionales [matemáticos] x ^ q [/ matemáticos] con [matemáticos] q [/ matemáticos] cercanos al exponente son un desastre de valores positivos, valores negativos y valores indefinidos, todo dependiendo de si el numerador o el denominador o ambos son impares. Por lo tanto, las diferentes formas de acercarse al número irracional dan resultados diferentes. Cabe señalar que esto no sucede cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] es positivo: todas las [matemáticas] x ^ q [/ matemáticas] son positivas, y se acercan entre sí como [matemáticas] q [/ matemáticas ] se acerca al exponente irracional real.
Otra forma de definir esto sería reescribir [matemática] x ^ y [/ matemática] como [matemática] \ left (e ^ {\ ln (x)} \ right) ^ y [/ matemática], que se convierte en [matemática] e ^ {y \ ln (x)} [/ math]. Eso se encuentra con problemas inmediatos, porque [math] \ ln (x) [/ math] no está definido cuando [math] x [/ math] es negativo.
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Eso significa que [matemática] x ^ x [/ matemática] no está definida para la gran mayoría de las negativas [matemática] x [/ matemática], por lo que una calculadora gráfica solo mostrará algunos puntos con [matemática] x [/ matemática negativa ] Los que mostrará se basan en los mecanismos internos de la calculadora. Por ejemplo, algunas calculadoras gráficas funcionan píxel por píxel, asociando un valor a cada píxel, por lo que si un valor en un píxel particular resulta ser una fracción con un denominador impar, el resultado se graficará. La forma en que las calculadoras gráficas manejan tales funciones merece una pregunta separada, ya que no estoy familiarizado con sus mecanismos internos.
Esta es la historia completa del comportamiento errático de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] en la línea real negativa. Utiliza números complejos.
Se mencionó que un número negativo a un poder irracional no se define como un número real. Sin embargo, resulta que tiene sentido hablar de un número negativo llevado a un poder irracional como un número complejo, utilizando el Teorema de Euler, [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin ( x) [/ matemáticas]. También implica reescribir [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] como [matemáticas] e ^ {y \ ln (x)} [/ matemáticas]. Desafortunadamente, eso, al resolver un problema, crea otro: en números complejos, [math] \ ln (x) [/ math] no está definido de manera única. En particular, [math] e ^ {2 \ pi ni} = \ cos (2 \ pi n) + i \ sin (2 \ pi n) = 1 [/ math] si [math] n [/ math] es un entero, entonces, al menos, [math] \ ln (x) [/ math] tiene infinitos valores, cada uno separado por [math] 2 \ pi i [/ math]. Resulta que estos son todos los valores de [math] \ ln (x) [/ math], y si uno siguiera los valores de [math] \ ln (x) [/ math] con un valor específico de [ matemáticas] n [/ matemáticas], uno obtendría lo que se conoce como una rama del logaritmo. (Los análogos de números reales a esto son la raíz cuadrada y las funciones trigonométricas inversas; de hecho, su multivalor es un caso especial de que el logaritmo sea multivalor en números complejos. Esa ambigüedad se resuelve asignando valores principales a estas funciones, y de la misma manera, [math] \ ln (x) [/ math] tiene un valor principal, aquel cuya parte imaginaria es más que [math] – \ pi [/ math], pero no más que [math] \ pi [/ math], o en el intervalo [math] \ left (- \ pi, \ pi \ right] [/ math] en notación de intervalo).
Cuando [math] x [/ math] es negativo o no real, eso hace que [math] x ^ y [/ math] también se vuelva ambiguo. Si [math] y [/ math] es un número racional, entonces eso colapsa en un conjunto finito, es decir, las raíces [math] q [/ math] th de [math] x ^ p [/ math], si [matemática] y = \ frac {p} {q} [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] son enteros. Si [math] y [/ math] es irracional, entonces hay un número infinito de [math] x ^ y [/ math]. Esto se puede ver de la siguiente manera:
[matemáticas] x ^ y = e ^ {y \ ln (x)} [/ matemáticas]
[math] = e ^ {y \ left (Ln (x) + 2 \ pi in \ right)} [/ math] ([math] Ln (x) [/ math] se define aquí como el valor principal de [ matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas])
[matemáticas] = e ^ {y Ln (x) + 2 \ pi iny} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {y Ln (x)} e ^ {2 \ pi iny} [/ matemáticas]
Si [math] y [/ math] es racional y tiene denominador [math] q [/ math], entonces aumentar [math] n [/ math] en [math] q [/ math] no cambia el valor de [math ] x ^ y [/ matemáticas]. Si, en cambio, [matemática] y [/ matemática] es irracional, entonces cada cambio en [matemática] n [/ matemática] cambiará el valor de [matemática] x ^ y [/ matemática], porque, debería [matemática] 2 \ pi iny [/ math] es igual a un múltiplo entero de [math] 2 \ pi i [/ math], digamos [math] 2 \ pi im [/ math], entonces el caso es que [math] y = \ frac {m} {n} [/ math], pero ese es un número racional.
De hecho, la naturaleza multivalor de [math] x ^ y [/ math] incluso ocurre con positivo [math] x [/ math] (aparte de los poderes enteros de [math] e [/ math]). Eso plantea la pregunta de por qué los valores reales de [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] son una función continua de [matemáticas] y [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] es positivo, pero no cuando [matemáticas ] x [/ math] es negativo. (La situación es esencialmente la misma con [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]). La razón está en las ramas. Deje [math] y = \ frac {p} {q} [/ math]. Entonces,
[matemáticas] x ^ y = x ^ {\ frac {p} {q}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ ln (x)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (x) +2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (x) \ right) + \ frac {p} {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (x) \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ matemáticas]
Cuando [math] x [/ math] es positivo, entonces el primer factor es un número real positivo, por lo que el valor real positivo de [math] x ^ y [/ math] corresponde a [math] n = 0 [/ math ] rama. Cuando [math] x [/ math] es negativo, el cálculo continúa:
[matemáticas] e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (x) \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ math ]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (- \ left | x \ right |) \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln \ left (\ left | x \ right | e ^ {\ pi i} \ right) \ right)} e ^ {\ frac {p } {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (\ left | x \ right |) + \ pi i \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left ( 2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (\ left | x \ right |) \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (\ pi i \ derecha)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (\ left | x \ right |) \ right)} e ^ {\ frac {p} {q} \ left (\ pi i + 2 \ pi in \ right)} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {\ frac {p} {q} \ left (Ln (\ left | x \ right |) \ right)} e ^ {2 \ pi i \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right)} [/ math]
El primer factor es un número real positivo. Para hacer que el resultado sea positivo real, [matemática] 2 \ pi i \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) [/ math] necesita ser un múltiplo entero de [math] 2 \ pi i [/ math]. Por lo tanto, [math] \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) [/ math] debe ser un número entero, por lo que [math] \ left (\ frac {p} {2q} \ right) \ left (1 + 2n \ right) [/ math] debe ser un número entero. Si [math] \ frac {p} {q} [/ math] estaba en los términos más bajos, entonces [math] p [/ math] no ayuda a cancelar el factor de [math] q [/ math] en el denominador , ni [math] 1 + 2n [/ math] ayuda a cancelar el factor de [math] 2 [/ math] en el denominador. Eso significa que [matemática] 1 + 2n [/ matemática] debe ser un múltiplo de [matemática] q [/ matemática], y [matemática] p [/ matemática] debe ser par. Sin embargo, cuanto más se quiere llegar a un número irracional con números racionales, mayor es el denominador requerido. Eso fuerza el uso de cada vez más grandes [matemáticas] n [/ matemáticas] a medida que la aproximación mejora. Eso significa que, para usar los valores reales positivos de las aproximaciones de [matemática] x ^ y [/ matemática] para una [matemática] y [/ matemática] irracional, donde estén disponibles, es necesario saltar de rama en rama .
Para que el resultado sea negativo real, [matemática] 2 \ pi i \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) [/ math] necesita be [math] \ pi i [/ math] más un múltiplo entero de [math] 2 \ pi i [/ math]. Por lo tanto, [math] \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) [/ math] debe ser [math] \ frac {1} {2} [/ math] más un número entero, entonces [math] \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (\ frac {1} {2} + n \ right) – \ frac {1 } {2} [/ math] debe ser un número entero. Esto requiere que [matemática] \ left (\ frac {p} {q} \ right) \ left (1 + 2n \ right) – 1 [/ math] sea un número entero par, entonces [math] \ left (\ frac { p} {q} \ right) \ left (1 + 2n \ right) [/ math] es un entero impar. Esto requiere que [math] p [/ math] sea impar y [math] 1 + 2n [/ math] sea un múltiplo de [math] q [/ math]. Una vez más, para usar los valores reales negativos de las aproximaciones de [matemática] x ^ y [/ matemática] para una [matemática] y [/ matemática] irracional, donde estén disponibles, es necesario saltar de rama en rama.
Esta es la razón fundamental detrás del comportamiento de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] en la línea real negativa: el hecho de que los valores reales de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas], donde existen, solo pueden ser se accede saltando de rama en rama de la función [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas], dependiendo del denominador de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Esto no sucedió con valores positivos de [matemáticas] x [/ matemáticas]: allí, la misma rama se usó todo el tiempo.