¿Cómo demostrar que el límite (cuando n se acerca al infinito) de [(n + 1) / n] ^ n es igual a e? Además, ¿hay otros casos en los que e aparece en límites?

Answer 1

Una respuesta:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n + 1} {n} ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = e ^ {\ lim_ {n \ to \ infty} \ ln (\ frac {n + 1} {n} ^ n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = e ^ {\ lim_ {n \ to \ infty} n * (\ ln (n + 1) – \ ln (n))} [/ matemáticas]

Observe que [math] \ ln (n + 1) – \ ln (n)) = \ int_n ^ {n + 1} \ frac {dx} {x} [/ math] y en ese rango [math] \ frac { 1} {n + 1} \ leq \ frac {1} {x} \ leq \ frac {1} {n} [/ math]

Entonces

[matemáticas] \ frac {1} {n + 1} \ leq \ ln (n + 1) – \ ln (n)) \ leq \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {n} [/ math] y [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {n + 1 } [/ math] ambos obviamente van a 1, así que por el teorema de compresión también lo hace

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} n * (\ ln (n + 1) – \ ln (n)) [/ math]

Y finalmente,

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ lim_ {n \ to \ infty} n * (\ ln (n + 1) – \ ln (n))} = e ^ 1 = e [/ math]

Pero eso requiere comprender qué es [matemáticas] e [/ matemáticas]. Eso parece una trampa.

Aquí hay una forma diferente de hacerlo:

[matemáticas] \ frac {n + 1} {n} = 1 + \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1+ \ frac {1} {n}) ^ n = [/ matemáticas]

Por el teorema binomial

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n {{n} \ elegir {k}} * \ frac {1} {n} ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {n!} { (nk)! * k!} * \ frac {1} {n} ^ k [/ math]

Observe que como [math] n \ to \ infty [/ math], [math] \ frac {n!} {(Nk)! * N ^ k} [/ math] va a 1 para cualquier [math] k [/ matemáticas]. Simplemente compare los poderes de [math] n [/ math] es el numerador y el denominador.

Así

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n {{n} \ elegir {k}} * \ frac {1} {n} ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {k!} [/ Math], que es la definición de [math] e [/ math]. También es otro límite que converge a [matemáticas] e [/ matemáticas].

Mi límite favorito absoluto que es igual a [matemáticas] e [/ matemáticas] es este:

Sea [math] P (n) [/ math] el producto de todos los elementos en la fila n [math] ^ {\ text {th}} [/ math] del triángulo de Pascal.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {P (n-1) * P (n + 1)} {P (n) ^ 2} = e [/ matemáticas]

Answer 2

De Durrett

Según la regla de L’Hopital, tiene [math] \ frac {log (1 + x)} {x} \ rightarrow 1 [/ math] como [math] x \ rightarrow 0 [/ math]

Ahora digamos [math] c_j \ rightarrow 0 [/ math], [math] a_j \ rightarrow \ infty [/ math] y [math] a_jc_j \ rightarrow \ lambda [/ math]

Entonces [math] log (1 + c_j) ^ {a_j} = [/ math] [math] a_jlog (1 + c_j) = (a_jc_j) (\ frac {log (1 + c_j)} {c_j}) \ rightarrow ( \ lambda) (1) = \ lambda [/ math]

Log exponencial [matemática] (1 + c_j) ^ {a_j} [/ matemática] produce:

[matemáticas] (1 + c_j) ^ {a_j} \ rightarrow e ^ {\ lambda} [/ matemáticas]

Ahora reemplace [math] c_j [/ math] con [math] \ frac {1} {n} [/ math] y reemplace [math] a_j [/ math] con [math] n [/ math] para obtener

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n}) ^ n \ rightarrow e [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que puede reemplazar [math] c_j [/ math] y [math] a_j [/ math] con una gran cantidad de secuencias siempre que las secuencias individuales converjan a [math] 0 [/ math] y [math] \ infty [/ math] y su producto converge a una constante.

Esto le dará una cantidad ilimitada de resultados de límite que todos contienen [matemáticas] e. [/ Matemáticas]