¿Cuál es la derivada de [matemáticas] 2 ^ {x-1} [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemáticas] f (x) = 2 ^ {x – 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {2 ^ {x + h – 1} – 2 ^ {x – 1}} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {2 ^ {x – 1} (2 ^ h – 1)} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ a 0} \ frac {2 ^ h – 1} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ a 0} \ frac {e ^ {hln (2)} – 1} {h} [/ matemáticas]

[matemática] e ^ x = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(hln (2)) ^ n} {n!} – 1} {h} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {h ^ n (ln ( 2)) ^ n} {n!}} {H} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ to 0} {\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {h ^ {n-1} ( ln (2)) ^ n} {n!}} [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} \ lim_ {h \ to 0} ln (2) {\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {h ^ {n -1} (ln (2)) ^ {n – 1}} {n!}} [/ Math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} ln (2) \ lim_ {h \ to 0} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(hln (2) ) ^ n} {(n + 1)!} [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} ln (2) \ lim_ {h \ to 0} (1 + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(hln (2)) ^ n} {(n + 1)!}) [/ Math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} ln (2) (1 + 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2 ^ {x – 1} ln (2) [/ matemáticas]

Answer 2

* A2A

[matemática] \ dfrac {d} {dx} [2 ^ {x-1}] = 2 ^ {x-1} \ ln 2 [/ matemática], simplemente hazlo directamente.

O,

Use las propiedades de los índices, [math] 2 ^ {x-1} = \ dfrac {1} {2} (2 ^ x) [/ math], tome la derivada para obtener [math] \ dfrac {1} {2} (2 ^ x \ ln 2) [/ math], simplifícalo de nuevo a [math] 2 ^ {x-1} \ ln 2 [/ math]

O,

Deje, [matemática] f (y) = 2 ^ y, y = x-1 [/ matemática], tenemos [matemática] \ dfrac {dy} {dx} = 1 [/ matemática], ahora aplique la regla de cadena para escribir

[matemáticas] \ dfrac {df} {dx} = \ dfrac {df} {dy} \ cdot \ dfrac {dy} {dx} = 2 ^ y \ ln 2 \ cdot 1 = 2 ^ {x-1} \ ln 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 3

A2A (y en realidad lee toda la pregunta).

Entonces, su primer enfoque fue usar la regla de la cadena, sabiendo que

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {d} {dx} 2 ^ x & = \ frac {d} {dx} e ^ {\ ln (2 ^ x)} \\ & = \ frac {d} { dx} e ^ {x \ ln (2)} \\ & = \ ln (2) e ^ {x \ ln (2)} \\ & = \ ln (2) 2 ^ {x} \ end {align} [/matemáticas]

Y eso

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (x-1) = 1 [/ matemáticas]

Tu tenias

[matemáticas] \ frac {d} {dx} 2 ^ {x-1} = 1 \ veces \ ln (2) 2 ^ {x-1} = \ ln (2) 2 ^ {x-1} [/ matemáticas ]

Su segundo enfoque utilizó el hecho de que

[matemáticas] 2 ^ {x-1} = \ frac {2 ^ x} {2} [/ matemáticas]

Luego, como te gusta la complicación, usaste la regla del cociente y encontraste, dado que

[matemáticas] \ frac {d} {dx} 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {2 ^ x} {2} = \ frac {2 \ ln (2) 2 ^ x – 0 \ veces 2 ^ x} {4} = \ frac {2 \ ln (2) 2 ^ x} {4} = \ frac {\ ln (2) 2 ^ x} {2} [/ matemáticas]

Pero recuerda lo que usaste antes

[matemáticas] \ frac {2 ^ x} {2} = 2 ^ {x-1} [/ matemáticas]

Entonces, usando la regla del cociente, obtienes el mismo resultado

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {2 ^ x} {2} = \ ln (2) \ frac {2 ^ x} {2} = \ frac {2 ^ {x-1}} { 2} [/ matemáticas]

Answer 4

En el segundo caso: [matemáticas] 2 ^ {x-1} = \ dfrac {2 ^ x} 2 [/ matemáticas], debería haber obtenido [matemáticas] (2 ^ {x-1}) = \ dfrac {\ En 2} 22 ^ x [/ matemáticas]. Bueno, esto es lo mismo que [math] \ ln 2 \ cdot2 ^ {x-1} [/ math], simplemente escrito de manera diferente.

Deberías mostrar lo que tienes en el segundo caso. Probablemente esté buscando el mismo resultado pero escrito de una manera desconocida, o cometió algún error menor en algún momento.

Answer 5

Tenemos: [matemática] \ dfrac {d} {dx} \ hspace {1 mm} \ big (2 ^ {x-1} \ big) [/ math]

Esta expresión se puede diferenciar utilizando la “regla de la cadena”.

Deje [math] u = 2 ^ {v} \ Rightarrow u ‘= 2 ^ {v} \ ln (2) [/ math] y [math] v = x-1 \ Rightarrow v’ = 1 [/ math]:

[matemáticas] \ Rightarrow \ dfrac {d} {dx} \ hspace {1 mm} \ big (2 ^ {x-1} \ big) = 2 ^ {v} \ ln (2) \ cdot {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {29 mm} = 2 ^ {v} \ ln (2) [/ matemáticas]

Ahora, reemplacemos [math] v [/ math] con [math] x-1 [/ math]:

[matemáticas] \ hspace {29 mm} = 2 ^ {x-1} \ ln (2) [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] 2 = e ^ {ln2} [/ matemáticas], ya que el registro exponencial y natural son inversos entre sí.
Entonces [matemáticas] 2 ^ {x-1} = (e ^ {ln2}) ^ {x-1} = e ^ {ln2 * (x-1)} [/ matemáticas]
Luego puede diferenciar según la regla para [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] y luego simplificar usando el hecho de que [matemáticas] 2 ^ {x-1} = (e ^ {ln2}) ^ {x-1 } = e ^ {ln2 * (x-1)} [/ math]

Answer 7

No es necesario usar la regla de la cadena. Hay una fórmula para situaciones que involucran exponentes como este. [matemática] d / dx [/ matemática] [matemática] a ^ x = ln (a) * a ^ x [/ matemática]

En este caso, [matemáticas] d (2 ^ (x-1)) / dx = ln (2) * (x-1) [/ matemáticas]

Answer 8

Uno puede diferenciarlo directamente para obtener [matemáticas] {2} ^ {x – 1} \ ln (2) [/ matemáticas], ya que aquí no se requiere una regla de cadena. Si bien hay una función interna, su derivada se evalúa como [matemática] 1 [/ matemática], y conociendo la regla de la cadena, no haría nada a la derivada. Entonces, todo lo que tiene que hacer es mantener la expresión original y luego usar lo que sabe sobre la diferenciación exponencial.

Espero que esto ayude.

Answer 9

Suponga que quiere decir y = 2 ^ (x-1), haría:

ln (y) = ln (2 ^ (x-1)) (en ambos lados para simplificar)

e ^ y = e ^ ((x-1) ln (2)) (deshacerse de ln (y) colocando ambos lados como exponentes de e)

y = e ^ ((x-1) ln (2)) (Hacer la regla de la cadena)

y ‘= 2 ^ (x-1) * ln (2)

Answer 10

En realidad, es derivada de 2 ^ (x-1) veces derivada de (x-1)

Lo que lo hace

2 ^ (x-1) * log2 * 1

= 2 ^ (x-1) * log2

Answer 11

Aplicando la regla de la cadena que obtienes

d / d (x-1) {(2 ^ (x-1)} * d / dx {(x-1)} = 2 ^ (x-1) * ln 2