Este es un buen problema de tarea de cálculo.
Dado que las funciones [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {- x} [/ matemáticas] son funciones continuas (en toda la línea real), su producto es una función continua. Entonces no hay asíntotas verticales.
En mi opinión, hay cuatro piezas que se unen para formar cualquier gráfico (que es una combinación de polinomios y trascendentales como pecado, log y exponenciales). Son las tuberías de cuatro cuartos que juntas forman un círculo. Los cuartos de tubería corresponden a un intervalo determinado por la concavidad y la pendiente de la función durante ese intervalo. Entonces, necesitamos saber dónde cambian la pendiente y la concavidad para encontrar cuántos cuartos de tubería usar, y luego encontraremos cuál usar.
La primera y segunda derivada de [math] f [/ math]. (No solo tome mi palabra, por favor verifique el cálculo).
- ¿Dónde has visto esto [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n \ left (\ frac {1} {a ^ i} \ right) = \ dfrac {1- \ frac {1} {a ^ n }} {a-1} [/ math] aplicado (útil)?
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[matemáticas] f ‘(x) = (1-x) e ^ {- x} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ” (x) = (x-2) e ^ {- x} [/ matemáticas]
El único cero de [matemática] f ‘[/ matemática] ocurre en [matemática] x = 1 [/ matemática], y el único cero de [matemática] f’ ‘[/ matemática] ocurre en [matemática] x = 2 [ /matemáticas].
Tenemos tres intervalos [math] (- \ infty, 1), (1,2), [/ math] y [math] (2, \ infty) [/ math]
[matemática] 0 [/ matemática] está en el primer intervalo y la pendiente y la concavidad no cambian en el primer intervalo, entonces [matemática] f ” (0) = – 2 [/ matemática] significa [matemática] f [/ matemática ] es cóncavo hacia abajo en todo el primer intervalo y [matemáticas] f ‘(0) = 1 [/ matemáticas] significa que f está aumentando en todo el primer intervalo. Aumentar y cóncavar hacia abajo en el primer intervalo significa que la función se parece al cuarto tubo superior izquierdo (parte de un círculo) en el primer intervalo. De manera similar, al verificar los valores en cada intervalo para la primera y segunda derivada, vemos que [math] f [/ math] se ve como el cuarto superior derecho de un círculo en el segundo intervalo y el cuarto inferior izquierdo de un círculo en [math] ( 2, \ infty). [/ Math]
Ahora tenemos que descubrir cómo estirar estos cuartos de círculo para que encajen en el gráfico. Como mínimo, necesitamos el valor de f al final de los cuartos de círculo. Estos puntos son [matemática] 1, 2, + \ infty [/ matemática] y [matemática] – \ infty. f (1) = e ^ {- 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] f (2) = 2e ^ {- 2} [/ matemáticas] (recuerde que [matemáticas] e [/ matemáticas] es un poco menos de 3 ) Necesitamos límites para las partes extrema izquierda y extrema derecha de nuestro gráfico.
[matemáticas] lim_ {x \ to \ infty} f (x) = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {x} {e ^ {x}} [/ math]
[math] = \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {e ^ {x}} [/ math] por la regla de L’Hôpital
[matemáticas] = 0. [/ math] Esto significa que hay una asíntota horizontal a la derecha en [math] y = 0. [/ math]
Del mismo modo, a la izquierda obtenemos [math] lim_ {x \ to – \ infty} f (x) = – \ infty. [/ Math]
Ahora ese primer intervalo [matemático] (- \ infty, 1) [/ matemático] todavía es un poco inestable porque no está realmente claro dónde colocar la cola izquierda, por lo que podríamos trazar algunos puntos en ese intervalo u observar eso en [matemática] (- \ infty, -1) [/ matemática] la gráfica de [matemática] xe ^ {- x} [/ matemática] es aún más negativa (cae debajo) de la gráfica de [matemática] -e ^ {- x} [/ matemáticas].