Para los vectores unitarios perpendiculares uy v, ¿cómo es || uv || siempre igual a sqrt (2)?

Answer 1

Podrías simplemente hacer un dibujo. Este es el camino sobre la prueba superior que es válida en cualquier espacio interno del producto (incluso los de dimensiones infinitas).

El teorema de Pitágoras generalizado en cualquier espacio interno del producto viene dado por

[matemáticas] || u – v || ^ 2 = || u – w || ^ 2 + || v – w || ^ 2 – 2 (uw) \ cdot (vw) [/ math].

Puede probar esto utilizando el hecho de que [math] || u || ^ 2 = u \ cdot u [/ math] para reemplazar todas las normas con productos de punto y reorganización. Ahora configurando [math] w = 0 [/ math] nos muestra que

[matemáticas] || u – v || ^ 2 = || u || ^ 2 + || v || ^ 2 – 2 u \ cdot v [/ matemáticas].

Ahora, como en la pregunta, tenemos [math] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​vectores unitarios perpendiculares, lo que significa [math] || u || = || v || = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] u \ cdot v = 0 [/ matemáticas]. Sustituyendo estos en, encontramos

[matemáticas] || u – v || ^ 2 = 1 + 1 – 2 \ veces 0 = 2 \ implica || u – v || = \ sqrt {2} [/ matemáticas].

Answer 2

Se dice que un vector [math] \ vec {u} [/ math] es un vector unitario iff [math] || \ vec {u} || = 1 [/ math] por lo tanto, dado que [math] \ vec {u} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] son ​​vectores unitarios perpendiculares del teorema de Pitágoras tenemos que [math] || \ vec {u} – \ vec {v} || = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Answer 3

Los vectores en su ejemplo no son vectores unitarios. Un vector [math] u [/ math] es un vector unitario si [math] || u || = 1 [/ math].

Answer 4

Dibuja una imagen. Para cualquiera de los dos vectores, piense en [math] \ | uv \ | [/ math] como la distancia entre [math] u [/ math] y [math] v [/ math]. Ahora la distancia es invariante bajo rotación (rotando [matemática] u, v [/ matemática] alrededor del origen en el mismo ángulo), entonces WLOG uno de los vectores puede ser [matemática] \ langle 1,0 \ rangle. [/ Matemática] Para ser perpendicular, las únicas posibilidades para el otro vector son [math] \ langle 0, \ pm 1 \ rangle [/ math]. * Ambas tienen distancia [math] \ sqrt {2} [/ math] desde [math ] \ langle 1,0 \ rangle. [/ math]

* Si desea ser más riguroso ya que este es un problema fácil, podemos definir perpendicular para significar que el producto de punto es 0 y, por lo tanto, cualquier vector unitario posible tiene la coordenada x 0 y la coordenada y [math] \ pm 1 [/ math ]