¿Cuáles son algunos problemas de álgebra?

Answer 1

Dado que el OP no ha dado el nivel de dificultad deseado o cuáles son sus experiencias, voy a dar problemas algo elementales (pero no necesariamente fáciles) comenzando en el nivel de álgebra lineal, como una de las etiquetas / temas dice álgebra lineal .

Álgebra lineal

1. Deje [math] V = \ lbrace (a_1, a_2, …, a_n): a_1, a_2, …, a_n \ en F \ rbrace [/ math] donde [math] F [/ math] es un campo. Definición de la adición de elementos de [math] V [/ math] por componentes y para [math] c \ en F [/ math] y [math] (a_1, a_2,…, a_n) \ en V, [/ math] define [ matemáticas] c (a_1, a_2, …, a_n) = (a_1,0, …, 0) [/ matemáticas]. ¿Es [matemática] V [/ matemática] un espacio vectorial?
2. Demuestre que el conjunto de todas las matrices triangulares superiores para una matriz [math] m \ times n [/ math] forma un subespacio.
3. Deje que [math] U_1 [/ math] y [math] U_2 [/ math] sean subespacios de un espacio vectorial [math] V [/ math]. Demuestre que [math] U_1 \ cup U_2 [/ math] forma un subespacio si y solo si [math] U_1 \ subseteq U_2 [/ math] o [math] U_2 \ subseteq U_1. [/ Math]
4. Demuestre que si [math] V [/ math] es un espacio vectorial dimensional [math] n [/ math], un conjunto [math] S [/ math] que contiene [math] n-1 [/ math] vectores linealmente independientes de [matemáticas] V [/ matemáticas] abarca un hiperplano. Esto es suficiente para mostrar que [math] m [/ math] vectores linealmente independientes no pueden abarcar [math] V [/ math] si [math] m <n. [/ Math]
5. Suponga que [math] U [/ math] es un subespacio del espacio vectorial [math] V [/ math] y que [math] T: V \ rightarrow V [/ math] es una transformación lineal. Demuestre que si [matemática] U [/ matemática] es [matemática] T [/ matemática] -invariante, entonces la restricción de [matemática] T [/ matemática] en [matemática] U [/ matemática], [matemática] T \ vert_U [/ math] es una transformación lineal.
6. Deje [math] A \ en M [/ math] [math] _ {n \ times n} (\ mathbb C). [/ Math] Demuestre que si [math] A [/ math] es nilpotente, entonces [math] \ det (A) = 0. [/ matemáticas]
7. Encuentre una fórmula para el determinante de la matriz de Vandermonde, que toma la siguiente forma:
   [matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 1 & x_0 & x_0 ^ 2 & \ cdots & x_0 ^ n \\ 1 & x_1 & x_1 ^ 2 & \ cdots & x_1 ^ n \\ 1 & x_2 & x_2 ^ 2 & \ ddots & \ vdots \\ 1 & x_n & x_n ^ 2 & \ cdots & x_n ^ n \ end {pmatrix} [/ math]
   (exprese la fórmula determinante de forma recursiva o mediante el uso de índices).
8. Deje que [math] P ^ {- 1} AP = D [/ math] sea una matriz diagonal. Demuestre que [matemáticas] \ exp (A) = P \ exp (D) P ^ {- 1}. [/ Matemáticas]
9. Sea V un espacio vectorial complejo que tenga un producto interno [math] \ langle \, \ \ rangle: V \ times V \ rightarrow \ mathbb C. [/ math] Demuestre que si [math] U [/ math] es un subespacio del espacio vectorial [matemáticas] V [/ matemáticas], entonces el conjunto [matemáticas] U ^ \ perp = \ lbrace v \ en V: \ langle v, u \ rangle = 0 \ \ forall u \ en U \ rbrace [ / math] también es un subespacio de [math] V [/ math].
10. Encuentre la forma canónica de Jordan [math] J [/ math] para la matriz
    [matemáticas] A = \ begin {pmatrix} 3 y 0 y -2 y -3 \\ 4 y -8 y 14 y -15 \\ 2 y -4 y 7 y -7 \\ 0 y 2 y -4 & 3 \ end {pmatrix} [/ math] así como la matriz [math] P [/ math] tal que [math] A = PJP ^ {- 1}. [/ Math]

En caso de que el OP quisiera problemas en el campo generalizado de álgebra (abstracta) y no solo en álgebra lineal, aquí hay algunos otros problemas en la teoría básica de grupos y anillos.

Teoría de grupo

1. Demuestre que cualquier subgrupo generado por un subconjunto de un grupo cíclico es cíclico.
2. Demuestre que si [matemática] G / Z (G) [/ matemática] es cíclica, entonces [matemática] G [/ matemática] es abeliana.
3. Usando 2, demuestre que si [math] \ vert G \ vert = pq [/ math] para algunos primos [math] p [/ math] y [math] q, [/ math] entonces [math] G [/ math ] es abeliano o [matemáticas] Z (G) = 1 [/ matemáticas].
4. Usando el teorema de Lagrange, demuestre el teorema de Euler, que establece que por cada entero [matemáticas] a [/ matemáticas] relativamente primo a [matemáticas] n [/ matemáticas], luego [matemáticas] a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 \ \ text {mod} \ n [/ math] donde [math] \ varphi [/ math] es la función totient de Euler.
5. Sea [math] F [/ math] un campo finito de orden [math] q [/ math] y sea [math] n \ in \ mathbb Z ^ + [/ math]. Demuestre que [matemáticas] \ vert GL_n (F): SL_n (F) \ vert = q-1 [/ matemáticas].
6. Demuestre el segundo teorema del isomorfismo: si [matemática] K [/ matemática] es un subgrupo de [matemática] G [/ matemática] y [matemática] N [/ matemática] es un subgrupo normal de [matemática] G [/ matemática], entonces [math] K / (K \ cap N) [/ math] es isomorfo a [math] KN / N [/ math].
7. Sea [math] G [/ math] un grupo finito de orden compuesto [math] n [/ math] de manera que [math] G [/ math] tenga un subgrupo de orden [math] k [/ math] para cada [ matemática] k \ in \ mathbb Z ^ + [/ matemática] tal que [matemática] k [/ matemática] divide [matemática] n [/ matemática]. Demuestre que [matemáticas] G [/ matemáticas] no es simple.
8. Clasifique todos los grupos abelianos de orden 180 hasta el isomorfismo.

Teoría del anillo

1. Probar que cada anillo booleano es conmutativo.
2. Deje que [math] k [/ math] sea un campo. Deje que [math] R = \ lbrace x \ in k ^ \ times: \ nu (x) \ geq 0 \ rbrace \ cup \ lbrace 0 \ rbrace [/ math] donde [math] \ nu: k ^ \ times \ rightarrow \ mathbb Z [/ math] es la valoración discreta en [math] k. [/ math] Demuestre lo siguiente:
1. [math] R [/ math] es una sustitución de [math] k [/ math] y también contiene la identidad.
2. Para cada elemento distinto de cero [matemática] x \ en k [/ matemática], [matemática] x [/ matemática] o [matemática] x ^ {- 1} [/ matemática] está en [matemática] R [/ matemática].
3. Un elemento [math] x \ en R [/ math] es una unidad si y solo si [math] \ nu (x) = 0 [/ math].
3. Demuestre que si [math] p [/ math] es primo, y si [math] R [/ math] es un anillo con la característica [math] p [/ math], entonces [math] (a + b) ^ p = a ^ p + b ^ p [/ math] para todos [math] a, b \ en R [/ math] (también conocido como el sueño del estudiante de primer año. ¡En este caso es cierto!)
4. Demuestre que cada dominio integral tiene la característica [matemática] p [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] es 0 o primo.
5. Demuestre que si [matemática] k [/ matemática] es un campo, entonces cualquier homomorfismo de anillo distinto de cero de [matemática] k [/ matemática] en otro anillo es una inyección.
6. Demuestre que cada ideal primordial de un anillo conmutativo finito con [math] 1 \ neq 0 [/ math] es un ideal máximo.
7. Demuestre que si un entero es la suma de dos cuadrados racionales, entonces es la suma de dos cuadrados enteros (es decir, [matemáticas] 13 = (1/5) ^ 2 + (18/5) ^ 2 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2 [/ matemáticas]).
8. Demuestre que [math] (x, y) [/ math] y [math] (2, x, y) [/ math] son ​​ideales principales en [math] \ mathbb Z [x, y] [/ math] pero solo El último es máximo.
9. Demuestre que [math] \ mathbb R [x] / (x ^ 2 + 1) [/ math] es un campo isomorfo a los números complejos.

Aquí también hay algunos problemas de partes más avanzadas de álgebra:

• (Teoría del módulo) Probar el corto cinco lema:

Suponiendo que [math] p, q, s, t [/ math] son ​​homomorfismos de módulo que forman una secuencia corta y exacta, demuestre que si [math] g [/ math] y [math] h [/ math] son ​​isomorfismos de módulo, entonces [matemáticas] f [/ matemáticas] también es un isomorfismo.

• (Teoría de campo) Demuestre que es imposible hacer los problemas griegos clásicos usando solo reglas y brújulas:

1. Duplicar el cubo: ¿es posible construir un cubo con exactamente el doble del volumen de un cubo dado?
2. Trisección de un ángulo: ¿es posible triseccionar cualquier ángulo dado [math] \ theta? [/ Math]
3. Cuadrando el círculo: ¿es posible construir un cuadrado cuya área sea exactamente el área de un círculo dado?

• (Teoría de Galois) Suponga que [matemática] F [/ matemática] es un campo de la característica 0 y [matemática] E [/ matemática] es el campo de división para algunos polinomios sobre [matemática] F [/ matemática]. Si Gal [math] (E / F) [/ math] es isomorfo a [math] Z_ {20} \ oplus Z_2, [/ math] determina el número de subcampos [math] L [/ math] de [math] E [/ math] hay tal que [math] L [/ math] contiene [math] F [/ math] y Gal [math] (E / L) [/ math] es isomorfo a [math] Z_5 [/ math] .

¡Que te diviertas!

Answer 2

En el más básico de los términos, el álgebra es el estudio de las operaciones, así como las estructuras en las que se basan estas operaciones. si desea generar rápidamente problemas de álgebra, elija un número aleatorio, cualquier número y manipúlelo para que sea igual a cualquier otro número aleatorio, rastreando lo que hizo para que así sea.

como ejemplo, 12 = 25.

Bueno, podríamos sumar 13 (12 + 13 = 25), o podríamos multiplicar por 2 y sumar 1 ([12 * 2] + 1 = 25). Luego, elija cualquier número en el lado izquierdo y reemplácelo con una variable, como tal.

(12 * 2) + 1 = 25

(x * 2) + 1 = 25

Solo asegúrese de no usar números trascendentales como Pi, a menos que inserte otro en algún lugar para cancelarlo. Los números trascendentales resistirán operaciones básicas de álgebra de lo contrario. Tome lo siguiente como ejemplo:

(pi) ^ 2 = 4

Podríamos hacer esto más simple al enraizar todo, dándonos (pi) = 2, pero a partir de aquí, no hay mucho que podamos hacer para que pi sea equivalente a 2. Podríamos restar algo de (pi) hasta obtener 2, pero eso es solo 1 seguido de los dígitos decimales de pi (1.141592 …), no hay una forma real de expresar los dígitos infinitos requeridos de manera decimal, y debido a que pi es trascendental, no hay una forma racional de expresarlo sin usar fracciones infinitas o sumas infinitas. La única forma de expresar ese número de forma compacta es [(pi) -2] (a menos que desee utilizar la notación de generador de conjuntos).

Esto nos da (pi) – [(pi) -2] = 2, en cuyo punto puede reemplazar uno de estos términos con una variable y resolver algebraicamente.