Si [math] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 34 \ sqrt {5} [/ math], entonces ¿cómo demuestro que [math] x = \ sqrt {5} + 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Usted no O bueno, no exactamente.

Primero, puede probar que si [math] x = \ sqrt {5} +2 [/ math], [math] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 34 \ sqrt {5} [/ matemáticas] con bastante facilidad.

Comience evaluando

[matemáticas] \ begin {align} (\ sqrt {5} +2) ^ 3 & = \ sqrt {5} ^ 3 + 3 \ times2 (\ sqrt {5}) ^ 2 + 3 \ times4 \ sqrt {5} +8 \\ & = 5 \ sqrt {5} + 30 + 12 \ sqrt {5} +8 \\ & = 17 \ sqrt {5} +38 \ end {align} [/ math]

Luego evalúa

[matemáticas] \ begin {align} (\ frac {1} {\ sqrt {5} +2}) ^ 3 & = \ frac {1} {17 \ sqrt {5} +38} \\ & = \ frac { 17 \ sqrt {5} -38} {(17 \ sqrt {5} +38) (17 \ sqrt {5} -38)} \\ & = \ frac {17 \ sqrt {5} -38} {5 \ times17 ^ 2-38} \\ & = \ frac {17 \ sqrt {5} -38} {5 \ times289-1444} \\ & = \ frac {17 \ sqrt {5} -38} {1445-1444} \\ & = 17 \ sqrt {5} -38 \ end {align} [/ math]

Y puedes escribir

[matemáticas] 17 \ sqrt {5} + 38 + 17 \ sqrt {5} -38 = 34 \ sqrt {5} [/ matemáticas]

Y has demostrado que

[matemática] x = \ sqrt {5} +2 \ Flecha derecha x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 34 \ sqrt {5} [/ matemática]

Pero luego, te das cuenta de que también puedes escribir

[matemáticas] 17 \ sqrt {5} – 38 + 17 \ sqrt {5} +38 = 34 \ sqrt {5} [/ matemáticas]

Lo que significa que

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {5} +2} = \ frac {\ sqrt {5} -2} {(\ sqrt {5} +2) (\ sqrt {5} -2)} = \ frac {\ sqrt {5} -2} {5-4} = \ sqrt {5} -2 [/ math]

También es una solución.

De hecho, hay otras cuatro soluciones, pero todas son complejas, así que supongo que están más allá de su nivel escolar. Pero incluso para [math] x \ in \ mathbb R [/ math], debe escribir

[matemáticas] x ^ 3 + \ frac {1} {x ^ 3} = 34 \ sqrt {5} \ Leftrightarrow x = \ sqrt {5} \ pm 2 [/ matemáticas]

El conjunto completo de soluciones es

[matemáticas] x \ in \ {\ sqrt {5} + 2, \ sqrt {5} -2, – \ frac {\ sqrt {5}} {2} – 1 + i (\ sqrt {3} + \ frac {\ sqrt {15}} {2}), 1- \ frac {\ sqrt {5}} {2} + i (\ frac {\ sqrt {15}} {2} -3), – \ frac {\ sqrt {5}} {2} – 1 -i (\ sqrt {3} + \ frac {\ sqrt {15}} {2}), 1- \ frac {\ sqrt {5}} {2} + i ( 3- \ frac {\ sqrt {15}} {2}) \} [/ math]

Answer 2

Use una variable auxiliar, llamémosla z, donde z = x³ .

Obtienes: z + 1 / z = 34√5

Multiplica ambos lados por z: z² + 1 = (34√5) * z

Traiga todo al lado izquierdo: z² – (34√5) * z +1 = 0

Resuelve la ecuación cuadrática:

z = (1/2) * (34√5 ± √ ((34√5) ² – 4) = (1/2) * (34√5 ± √ (34² * 5 – 4)) = (1/2 ) * (34√5 ± 76) =

= 17√ (5) ± 38

Te dan: x = √5 + 2 , pero sabiendo que (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

obtienes: x³ = (√5) ³ + 3 * (√5) ² * 2 + 3√5 * 2² + 2³ =

= 5√ (5) + 3 * 5 * 2 + 3 * 4√ (5) + 8 =

= 17 * √ (5) + 38, que es uno de los dos raíces de la ecuación cuadrática anterior.

Quod erat demonstrandum y espero que no te maten!

Answer 3

La manera fácil de demostrar esto sería insertar el valor de x en la ecuación anterior para obtener la misma respuesta en ambos lados de la ecuación.

Entonces, sabemos que: x = √5 + 2. Todo lo que hacemos es conectar esta ecuación para x en x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 34√5 para cada valor de x . Puede ser un poco complicado, así que voy a resolver esto paso a paso.

1. Primero, voy a enchufar x : (√5 + 2) ^ 3 + 1 / (√5 + 2) ^ 3 = 34√5
2. Ahora voy a expandir el lado izquierdo. Debido a que x se eleva a una potencia de 3 dos veces, solo lo resolveré una vez y lo enchufaré:

1. (√5 + 2) ^ 3 = (√5 + 2) (√5 + 2) (√5 + 2)
2. = (√5 + 2) (5 + 4√5 + 4)
3. = (5√5 + 4 * 5 + 4√5 + 10 + 8√5 + 8) = (38 + 17√5)

Ahora puedo reescribir la ecuación como: (38 + 17√5) + 1 / (38 + 17√5) = 34√5

Voy a mover la primera parte (delante del signo de suma) del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho:

1. 1 / (38 + 17√5) = 34√5- (38 + 17√5)
2. 1 / (38 + 17√5) = 34√5-38-17√5) -> 1 / (38 + 17√5) = 17√5-38

Si te das cuenta, debería poder multiplicar el lado derecho por el denominador de la ecuación en el lado izquierdo y quedar con una ecuación igual a 1:

1. 1 = (17√5-38) (38 + 17√5)
2. 1 = 646√5 + 289 * 5–1444–646√5
3. 1 = 1

Como hemos finalizado la ecuación con el mismo valor en cada lado de la misma (son “uno a uno”), hemos demostrado con éxito que √5 + 2 es, de hecho, el valor para x .

Answer 4

Comenzando con la expresión que ha presentado, dejamos que x = √5 + 2, y la sustituimos.

(√5 + 2) ^ 3 + 1 / (√5 + 2) ^ 3 = 5√5 + 30 + 12√5 + 8 + 1 / (5√5 + 30 + 12√5 + 8)

El lado derecho se convierte en: 17√5 + 38 + 1 / (17√5 + 38) = 17√5 + 38 + (17√5–38) / (17√5 + 38) (17√5–38)

Que se convierte en: 17√5 + 38 + 17√5–38 = 34√5

Entonces, x = √5 + 2

Answer 5

Use la fórmula para el cubo de la suma que es

(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2 * b + 3a * b ^ 2 + b ^ 3

Por lo tanto, x ^ 3 = (sqrt (5) + 2) ^ 3 = 5 * sqrt (5) + 3 * 5 * 2 + 3 * sqrt (5) * 2 ^ 2 +8 = 17 * sqrt (5) + 38

1 / x ^ 3 = 1 / (17 * sqrt (5) + 38) = (17 * sqrt (5) – 38) / ((17 * sqrt (5) + 38) * (17 * sqrt (5) – 38)) (multiplicamos el numerador y el denominador por (17 * sqrt (5) – 38).

Entonces 1 / x ^ 3 = (17 * sqrt (5) – 38) / (17 * 5–38 ** 2) = 17 * sqrt (5) – 38.

Ahora x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 17 * sqrt (5) + 38 + 17 * sqrt (5) – 38 = 34 * sqrt (5)

Answer 6

① x³ = (√5 + 2) ³ = (√5) ³ + 3 (√5) ² (2) +3 (√5) (2) ² + (2) ³

= 5√5 + 30 + 12√5 + 8

= 38 + 17√5 ■■

② 1 / x³

= (38–17√5) / (38²-5 * 289)

= (38–17√5) / (- 1)

= (17√5–38) ■■

③∴

x³ + (1 / x³)

= (38 + 17√5) + (17√5–38)

= 34√5

Answer 7

x = (sqrt5 + 2)

1 / x = (sqrt5-2) por racionalización. Por lo tanto (x + 1 / x) = 2 * sqrt5 …… .. (i)

Ahora x ^ 3 + (1 / x) ^ 3

= (x + 1 / x) ^ 3 -3x * (1 / x) (x + 1 / x) …………. (ii)

Sustituyendo (i) en (ii) tenemos

(2sqrt5) ^ 3–3 * 2sqrt5

= 40sqrt5 – 6sqrt5

= 34sqrt5

Answer 8

Podría ser root-5 menos 2