¿Se utiliza alguna vez la raíz cuadrada de [math] i [/ math] en los cálculos?

Answer 1

La respuesta es sí, y si ha tomado trigonometría, prácticamente ha utilizado [math] \ sqrt {i} [/ math] sin siquiera saberlo. Es porque el triángulo 30, 60, 90 y el triángulo 45, 45, 90 son prácticamente los únicos ejemplos que obtenemos en trigonometría, y [math] \ sqrt {i} [/ math] es el último.

El punto [math] z = 0 + 1i = i [/ math] está en el círculo unitario, en el ángulo [math] \ pi / 2 [/ math] o [math] 90 ^ \ circ. [/ Math] En coordenadas polares escribimos [matemáticas] i = z = e ^ {i \ pi / 2}. [/ matemáticas]

Tomar la raíz cuadrada de un número complejo significa tomar la raíz cuadrada de su magnitud y dividir su ángulo por la mitad. [matemáticas] | i | = 1, [/ matemáticas] así que [matemáticas] | \ sqrt {i} | = 1 [/ matemáticas] también. La mitad del ángulo es [matemática] \ pi / 4 [/ matemática] o [matemática] 45 ^ \ circ. [/ Matemática] Entonces, una raíz cuadrada de [matemática] i [/ matemática] (siempre hay dos raíces cuadradas relacionadas por negación) es

[matemáticas] \ sqrt {i} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos (\ pi / 4) + i \ sin (\ pi / 4) = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} + \ dfrac {i} {\ sqrt {2}} [/ math]

Entonces, si alguna vez ha escrito [math] \ sin 45 ^ \ circ = \ sqrt {2} / 2, [/ math] ha calculado más o menos con [math] \ sqrt {i}. [/ Math]

Podemos comprobar que esta es realmente la raíz cuadrada de [math] i [/ math]:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} + \ dfrac {i} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {2 }} \ right) ^ 2 (1 + i) ^ 2 [/ math] [math] = \ dfrac {1} {2} (1 ^ 2 + 2i + i ^ 2) [/ math] [math] = \ dfrac {2i} {2} = i \ quad \ marca de verificación [/ math]

La otra raíz cuadrada de [matemáticas] i [/ matemáticas] es la negación,

[matemáticas] – \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} – \ dfrac {i} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Answer 2

No tengo idea, pero [math] \ sqrt {i} [/ math] es un concepto genial. Recuerde [math] e ^ {i \ pi} = – 1? [/ Math] Dado que [math] i [/ math] es la raíz cuadrada de [math] -1, [/ math] [math] \ sqrt {i } [/ math] es la cuarta raíz de [math] -1, [/ math] o [math] (- 1) ^ {\ frac {1} {4}}, [/ math] que significa que [math] \ sqrt {i} = e ^ {i \ frac {\ pi} {4}}. [/ math] Entonces ese es un hecho divertido para el día 🙂