Cómo encontrar el mínimo de la fracción: [matemática] \ frac {(x + 1) (y + 1) (x + y + 1)} {xy} [/ matemática], con [matemática] x [/ matemática] y [matemáticas] y [/ matemáticas] positivo

Answer 1

Podemos denotar la función

[matemáticas] f (x, y) = \ frac {(x + 1) (y + 1) (x + y + 1)} {xy} [/ matemáticas]

Entonces podemos saber que

[matemáticas] f (x, y) = x + y + 1 + \ frac {(x + y + 1) ^ 2} {xy} [/ matemáticas]

Para obtener fácilmente los derivados, podemos tratar aún más

[matemáticas] f (x, y) = x + y + \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} + \ frac {2} {x} + \ frac {2} {y} + \ frac {1} {xy} +3 [/ matemáticas]

Entonces podemos obtener

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial x} = 1+ \ frac {1} {y} – \ frac {y} {x ^ 2} – \ frac {2} {x ^ 2} – \ frac {1} {x ^ 2 y} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 1+ \ frac {1} {x} – \ frac {x} {y ^ 2} – \ frac {2} {y ^ 2} – \ frac {1} {y ^ 2 x} [/ math]

Para verificar los minutos o los máximos, generalmente verificamos los puntos donde esas dos derivadas son iguales a cero, como

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 0 [/ matemáticas]

De las ecuaciones anteriores podemos obtener fácilmente

[matemáticas] (xy) (x + y + 1) = 0 [/ matemáticas]

Como sabemos que [matemática] x> 0, y> 0 [/ matemática], entonces el único caso posible es [matemática] x = y. [/ Matemática] Entonces podemos obtener

[matemáticas] x ^ 3-2x-1 = 0 [/ matemáticas]

así que a partir de esta ecuación podemos saber fácilmente [matemáticas] x = -1, x = 1/2 (1- \ sqrt 5), x = [/ matemáticas] [matemáticas] 1/2 (1+ \ sqrt 5). [ / math] Dado que [math] x> 0 [/ math], entonces [math] x = 1/2 (1+ \ sqrt 5). [/ math]

Como [matemáticas] x> 0, y> 0 [/ matemáticas], es fácil saber que

[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2f} {\ parcial x ^ 2}> 0 [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2f} {\ parcial y ^ 2}> 0 [/ matemática]

Entonces [math] f (x, y) [/ math] obtendrá un mínimo cuando [math] x = y = 1/2 (1+ \ sqrt 5) [/ math].

Pegue [math] x = y = 1/2 (1+ \ sqrt 5) [/ math] de nuevo a [math] f (x, y) [/ math] puede obtener [math] f_ {min} = 11.0902. .[/matemáticas]

Answer 2

¿Cómo puedo encontrar el mínimo de la fracción: [math] \ dfrac {(x + 1) (y + 1) (x + y + 1)} {xy} [/ math], con [math] x [/ math ] y [matemáticas] y [/ matemáticas] positivo?

La respuesta de Ruirui Liu reescribe la función usando álgebra antes de tomar derivados; Aquí hay un enfoque ligeramente diferente.

Tenga en cuenta que si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​positivas, entonces también lo es [math] f (x, y) = \ dfrac {(x + 1) (y + 1) ( x + y + 1)} {xy} [/ matemáticas]. En lugar de minimizar esto, minimicemos su logaritmo natural:

[matemáticas] g (x, y) = \ ln f (x, y) = \ ln (x + 1) + \ ln (y + 1) + \ ln (x + y + 1) – \ ln x- \ ln y [/ math]

La diferenciación da

[matemáticas] g_x = \ frac {\ partial g} {\ partial x} = \ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {1} {x + y + 1} – \ dfrac {1} {x} [/matemáticas]

[matemáticas] g_y = \ frac {\ partial g} {\ partial y} = \ dfrac {1} {y + 1} + \ dfrac {1} {x + y + 1} – \ dfrac {1} {y} [/matemáticas]

Establecer estas derivadas igual a 0 conduce a dos ecuaciones similares; El primero es

[matemáticas] \ dfrac {1} {x} = \ dfrac {1} {x + 1} + \ dfrac {1} {x + y + 1} \\\ quad \ implica (x + 1) (x + y +1) = x (x + y + 1) + x (x + 1) \\\ quad \ implica x + y + 1 = x ^ 2 + x \\\ quad \ implica y + 1 = x ^ 2 [ /matemáticas]

mientras que la segunda ecuación lleva a [matemáticas] x + 1 = y ^ 2 [/ matemáticas].

No es sorprendente que este par de ecuaciones sea equivalente a las encontradas por Ruirui Liu. Como [matemáticas] x ^ 2-y = 1 = y ^ 2-x [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] x ^ 2-y ^ 2 = yx [/ matemáticas], entonces [matemáticas] y = x [/ matemáticas]. Con esa sustitución, solo necesitamos resolver [matemática] x ^ 2 = x + 1 [/ matemática], que solo tiene una solución positiva: [matemática] x = y = \ frac {1+ \ sqrt5} {2} = \ phi [/ math] (la proporción áurea). Se puede confirmar que este es un mínimo utilizando segundas derivadas, o utilizando una versión de la primera prueba de derivadas, observando que [math] g_x (x, \ phi) [/ math] y [math] g_y (\ phi, y) [/ math] cambia de negativo a positivo a medida que (resp.) [math] x [/ math] y [math] y [/ math] pasan de menos de [math] \ phi [/ math] a mayor que [math] \ phi [/ matemáticas].

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Nota: Se puede obtener la respuesta más rápidamente explotando la simetría en la función, es decir, el hecho de que [matemática] f (x, y) = f (y, x) [/ matemática]. Suponiendo que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] deben ser iguales *, el problema se reduce a un problema de optimización de una variable: minimizar [math] h (x) = f (x , x) = \ dfrac {(x + 1) ^ 2 (2x + 1)} {x ^ 2} = x ^ {- 2} + 4x ^ {- 1} + 2x + 5 [/ matemática].

* Originalmente dije que

• Específicamente, esta simetría implica que los extremos para [matemática] f [/ matemática] deben ocurrir cuando [matemática] y = x [/ matemática] o cerca de los límites del dominio (es decir, cuando [matemática] x \ to0 [ / math] o [math] y \ a 0 [/ math]). El último caso no puede conducir a un mínimo porque (por ejemplo) para [matemática] x [/ matemática] fija, [matemática] f (x, y) [/ matemática] puede hacerse arbitrariamente grande eligiendo suficientemente pequeña [matemática] y [ /matemáticas].

Sin embargo, me resulta difícil justificarlo, por lo que voy a criticar esa línea de razonamiento.

Answer 3

La expresión dada [matemáticas] \ frac {(x + 1) (y + 1) (x + y + 1)} {xy}> \ frac {xy (x + y + 1)} {xy} = x + y +1 [/ matemáticas]

Esto no tiene un máximo.

La expresión es simétrica en x e y . Entonces podemos esperar un mínimo cuando x = y

Enchufar la relación

Expresión [matemática] E = \ frac {(x + 1) ^ 2) (2x + 1)} {x ^ 2} ……. (2) [/ matemática]

Establecer [matemáticas] \ frac {dE} {dx} = 0 [/ matemáticas] lleva a [matemáticas] x ^ 2-x-1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {1 \ pm \ sqrt 5} {2} [/ matemáticas]

Elegir solo el valor positivo [matemática] x = \ frac {1+ \ sqrt 5} {2} [/ matemática]

Al enchufar este valor en (2) se obtienen [matemáticas] \ boxed {E_ {min} = \ frac {11 + 5 \ sqrt 5} {2} = 11.09017} [/ math]

Answer 4

Por supuesto, debes hacer el cálculo, como lo describen otros. Por otro lado, ¿por qué no elegir un rango conveniente de valores positivos para x e y y representarlo gráficamente en una hoja de papel, y leer la respuesta del gráfico? El método que elija debe depender de por qué quiere la respuesta y qué tan precisa debe ser.