¿Cuál es el valor de cosx – cos 2x + cos 3x cuando x = pi / 7?

Answer 1

Las raíces de [matemáticas] z ^ 7 + 1 = 0 [/ matemáticas] son

[matemáticas] z_0 = \ cos \ frac {\ pi} {7} + i \ sin \ frac {\ pi} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] z_1 = \ cos \ frac {3 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {3 \ pi} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] z_2 = \ cos \ frac {5 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {5 \ pi} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] z_3 = \ cos \ frac {7 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {7 \ pi} {7} = – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z_4 = \ cos \ frac {9 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {9 \ pi} {7} = \ cos \ frac {5 \ pi} {7} -i \ sin \ frac {5 \ pi} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] z_5 = \ cos \ frac {11 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {11 \ pi} {7} {7} = \ cos \ frac {3 \ pi} {7} -i \ sin \ frac {3 \ pi} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] z_6 = \ cos \ frac {13 \ pi} {7} + i \ sin \ frac {13 \ pi} {7} = \ cos \ frac {\ pi} {7} -i \ sin \ frac { \ pi} {7} [/ matemáticas]

La suma de todas las raíces = 0 por la fórmula de Vieta para [matemáticas] z ^ 7 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 2 \ {\ cos \ frac {\ pi} {7} + \ cos \ frac {3 \ pi} {7} + \ cos \ frac {5 \ pi} {7} \} – 1 = 0 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] \ cos \ frac {5 \ pi} {7} = – \ cos (\ pi- \ frac {5 \ pi} {7}) = – \ cos \ frac {2 \ pi} {7} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ frac {\ pi} {7} + \ cos \ frac {3 \ pi} {7} – \ cos \ frac {2 \ pi} {7} = \ frac {1} {2} [ /matemáticas]

Answer 2

cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x,

entonces cos x – cos 2x + cos 3x = cos 2x (2 cos x – 1) = (2cos ^ 2 x – 1) (2 cos x – 1)

= 4 cos ^ 3 x – 2 cos ^ 2 x – 2cos x + 1.

Por supuesto, puede buscar cos pi / 2, cos 2pi / 7 y cos 3pi / 7. Pero de esta manera solo necesita buscar cos pi / 7 y luego hacer un poco de aritmética. Creo que solo será posible hacer esto numéricamente, aunque esto tiene algo que ver con un 14-gon. Esto no es un Heptágono construible – Wikipedia, por lo que confirma que es necesaria una aproximación numérica.

Answer 3

Olvidémonos de [math] x = \ pi / 7 [/ math] hasta el final.

[matemáticas] s = \ cos x – \ cos 2x + \ cos 3x = \ textrm {Re} (e ^ {xi} – e ^ {2xi} + e ^ {3xi}) [/ math]

El doble de la parte real es la suma de los conjugados (Prueba: [matemáticas] (a + bi) + (a-bi) = 2a [/ matemáticas]):

[matemáticas] 2s = (e ^ {xi} – e ^ {2xi} + e ^ {3xi}) + (e ^ {- xi} – e ^ {- 2xi} + e ^ {- 3xi}) [/ matemáticas ]

Necesitamos restar uno para convertir esto en una serie geométrica:

[matemáticas] 2s – 1 = e ^ {- 3xi} – e ^ {- 2xi} + e ^ {- xi} – 1 + e ^ {xi} – e ^ {2xi} + e ^ {3xi} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ displaystyle 2s -1 = e ^ {- 3xi} \ sum_ {k = 0} ^ 6 (-e ^ {xi}) ^ k [/ matemáticas]

Cada vez que sumamos un anillo de puntos igualmente espaciados en un círculo centrado en el origen, vamos a obtener cero. En nuestro caso, tenemos siete puntos igualmente espaciados alrededor del círculo unitario, por lo que sumarán cero. Vamos a mostrar esto calculando la suma.

[matemáticas] 2s -1 = e ^ {- 3xi} \ dfrac {1 – (-e ^ {xi}) ^ 7} {1 – (- e ^ {xi})} = e ^ {- 3xi} \ dfrac {1 + e ^ {7xi}} {1 + e ^ {xi}} [/ math]

Ahora, dado que [math] x = \ pi / 7, [/ math] [math] e ^ {7xi} = e ^ {i \ pi} = – 1 [/ math] entonces el numerador es cero.

[matemáticas] 2s – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] s = \ frac 1 2 [/ matemáticas]