¿Cuáles son los puntos máximos y mínimos en la gráfica de [matemáticas] y = 6 \ sin x \ cos x-8 \ sin ^ 2 x + 7 [/ matemáticas]?

Answer 1

Ya hay una respuesta usando cálculo.

Entonces el segundo método es …

[matemáticas] y = 6 \ sen x \ cos x-8 \ sin ^ 2x + 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 3 (2 \ sin x \ cos x) +4 (1-2 \ sin ^ 2x) +3 [/ matemáticas]

[matemática] y = 3 \ sin (2x) +4 \ cos (2x) +3 [/ matemática]

[matemáticas] y = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} \ left (\ dfrac {3} {\ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2}} \ sin (2x) + \ dfrac {4} {\ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2}} \ cos (2x) \ right) +3 [/ math]

[matemática] y = 5 \ left (\ dfrac {3} {5} \ sin (2x) + \ dfrac {4} {5} \ cos (2x) \ right) +3 [/ math]

Deje [math] \ dfrac {3} {5} = \ cos \ theta [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ sin \ theta = \ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ theta} = \ dfrac {4} {5} [/ matemáticas]

Sustituir…

[matemática] y = 5 \ left (\ sin (2x) \ cos \ theta + \ cos (2x) \ sin \ theta \ right) +3 [/ math]

Esto ahora se convierte en.

[matemáticas] y = 5 \ sin (2x + \ theta) +3 [/ matemáticas]

Sabemos..

[matemáticas] -1 \ le \ sin (2x + \ theta) \ le 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] -5 \ le 5 \ sin (2x + \ theta) \ le 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 \ le 5 \ sin (2x + \ theta) +3 \ le 8 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] y \ en [-2,8] [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ min (y) = – 2 [/ matemáticas]

y, [matemáticas] \ max (y) = 8 [/ matemáticas]

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En general

[matemáticas] y = a \ sen x + b \ cos x + c [/ matemáticas]

Conseguirás,

[matemáticas] y \ en [c- \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}, c + \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}] [/ matemáticas]

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¡¡Salud!!

Answer 2

Tomando la derivada de [math] y [/ math] con respecto a x obtenemos [math] dy / dx = 6 \ cos (2x) – 8 \ sin (2x) [/ math]. Igualando [math] dy / dx [/ math] a cero y dividiendo entre [math] \ cos (2x) [/ math] obtenemos [math] 6-8 \ tan (2x) = 0 \ Rightarrow \ tan (2x ) = 3/4 \ Rightarrow x = 1/2 \ tan ^ {- 1} (3/4). [/ Math] Por supuesto, esto tiene un número infinito de soluciones, ya que es una función periódica. Eso debería darte un buen punto de partida 🙂