Cómo demostrar que (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C)

Answer 1

Llame al conjunto en la LHS “L” y al conjunto en la RHS “R”.

Cada uno de ellos está construido a partir de A, B y C solamente. Entonces, si la membresía en L y R implica la misma membresía en A, B y C, deben ser equivalentes. Así que sea x en L.

Si x no está en A, entonces no puede estar en L, ya que L es un subconjunto de A (es A con cosas extraídas). Entonces x debe estar en A.

Tenga en cuenta también que x no puede estar en B o C, ya que están minimizados. Entonces, cualquier cosa en L está en A, pero no B o C.

Ahora dejemos que x esté en R. Si x no está en A, no puede estar en R, ya que R es un subconjunto de A (es A con cosas extraídas). Por lo tanto, x debe estar en A. Tenga en cuenta que x no puede estar en C, ya que C tiene menos de A.

Ahora solo tenemos que mostrar que x no está en B. Entonces supongamos que x está en B. Entonces x está o no está en B \ C.

Supongamos que x no está en B \ C. Entonces, dado que x está en B (por supuesto), x debe estar en C. Pero ya probamos que x no estaba en C. Contradicción.

Entonces, si x está en B, debe estar en B \ C. Entonces ahora tenemos que x es:

en R

en un

en B \ C

Pero R es un subconjunto de A con B \ C minimizado. Entonces esto es una contradicción. Es decir, si x está en B, obtenemos una contradicción. Entonces x no está en B.

Entonces, si x está en L o R, obtenemos que x está en A, pero no en B o C. Por lo tanto, L y R son equivalentes.

QED

Answer 2

Puede probar esto representando estas dos declaraciones lógicamente y mostrando equivalencia. Esto es lo que haría.

[matemáticas] a \ in (A \ barra invertida C) \ barra invertida (B \ barra invertida C) \\ \ leftrightarrow (a \ in A \ land a \ notin C) \ land \ neg (a \ in B \ land a \ notin C) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ leftrightarrow (a \ en A \ land a \ notin C) \ land (a \ notin B \ lor a \ in C) \ text {por la Ley de DeMorgan.} [/ math]

[matemáticas] \ leftrightarrow (a \ en A \ land a \ notin C \ land a \ in C) \ lor (a \ in A \ land a \ notin C \ land a \ notin B) [/ math] por Distribución

[matemáticas] \ leftrightarrow (a \ en A \ land a \ notin C \ land a \ notin B) [/ math]

[matemática] \ leftrightarrow a \ en A \ barra diagonal inversa B \ barra diagonal inversa C [/ matemática]

La equivalencia lógica funcionó aquí, pero generalmente para este tipo de preguntas, demostrará que cada conjunto es un subconjunto del otro en dos pruebas separadas.

Answer 3

Observamos que para cualquiera de los dos conjuntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], [matemática] A \ barra diagonal inversa B \ equiv A \ cap B ^ C [/ matemática], donde [matemática] B ^ C [/ math] representa el complemento de [math] B [/ math]. Así,

[matemáticas] (A \ barra diagonal inversa B) \ barra diagonal inversa C = A \ cap B ^ C \ cap C ^ C [/ matemática]

y

[matemática] (A \ barra diagonal inversa C) \ barra diagonal inversa (B \ barra diagonal inversa C) [/ matemática]

[matemáticas] = (A \ cap C ^ C) \ barra invertida (B \ cap C ^ C) [/ matemáticas]

[math] = A \ cap C ^ C \ cap (B \ cap C ^ C) ^ C [/ math], y luego aplicamos la ley de DeMorgan para obtener [math] A \ cap C ^ C \ cap (B \ cap C ^ C) ^ C [/ matemáticas]

[matemáticas] = A \ cap C ^ C \ cap (B ^ C \ cup C) [/ math]

[matemáticas] = A \ cap ((C ^ C \ cap B ^ C) \ cup (C ^ C \ cap C)) [/ math]

[matemáticas] = A \ cap C ^ C \ cap B ^ C [/ math]

[matemáticas] = A \ cap B ^ C \ cap C ^ C = (A \ barra diagonal inversa B) \ barra diagonal inversa C [/ matemática]

No dude en hacer cualquier pregunta si alguno de mis pasos no fue claro