Cómo hacer que los puntos críticos de dos ecuaciones sean iguales

¿Cómo hago que los puntos críticos de dos ecuaciones sean iguales? Quiero que el máximo de g (x) = x (e ^ -x) tenga las mismas coordenadas x que el punto (20, 15). ¿Podría hacer esto usando la derivada de la función g (x)? ¿Si es así, cómo? Realmente estoy luchando con esto.

Esto está etiquetado como una pregunta de tarea, por lo que reflexionaré sobre el problema, pero no la respuesta final, en parte porque no estoy completamente seguro de lo que esta pregunta está pidiendo.

La función [math] g (x) = xe ^ {- x} [/ math] tiene su máximo en el punto [math] (1, e ^ {- 1}) [/ math]. Solo dijo que desea que tenga la misma coordenada x que (20,15), pero supongo que realmente quiere una “versión” de [math] g (x) [/ math] que en su lugar tenga su máximo (ambos x y coordenadas y ) en (20,15).

Si esa interpretación es correcta , hay más de una forma de hacerlo, dependiendo de cómo desee construir la nueva función. Una forma de hacerlo es a través de transformaciones (traducción, reflexión, estiramiento y reducción).

Suponga que tiene una función [matemática] f (x) [/ matemática] con un máximo local en el punto [matemática] (a, b) [/ matemática]. Luego tenga en cuenta que (por ejemplo):

[matemática] y = f (x) +5 [/ matemática] se traduce hasta 5 unidades , por lo que tiene un máximo en [matemática] (a, b + 5) [/ matemática].
[matemática] y = f (x-3) [/ matemática] se traduce a la derecha 3 unidades , por lo que tiene un máximo en [matemática] (a + 3, b) [/ matemática].
[math] y = f (-x) [/ math] se refleja en el eje y , por lo que tiene un máximo en [math] (- a, b) [/ math].
[math] y = -f (x) [/ math] se refleja en el eje x , por lo que tiene un mínimo en [math] (a, -b) [/ math].
[matemática] y = 4f (x) [/ matemática] se estira verticalmente por un factor de 4 , por lo que tiene un máximo en [matemática] (a, 4b) [/ matemática].
[math] y = f (3x) [/ math] se reduce horizontalmente por un factor de [math] \ frac {1} {3} [/ math], por lo que tiene un máximo en [math] (\ frac {1 } {3} a, b) [/ matemáticas].
De manera similar, [matemática] y = 2f (x + 1) -6 [/ matemática] tiene un máximo en [matemática] (a-1,2b-6) [/ matemática], y [matemática] y = 3f (0.1x) [/ math] tiene un máximo en [math] (10a, 3b) [/ math].

Entonces, si desea una función que esté relacionada con [matemática] f (x) [/ matemática] , pero con un máximo en [matemática] (c, d) [/ matemática] en lugar de [matemática] (a, b) [/ math] , encuentre algunas transformaciones que cambiarán el punto [math] (a, b) [/ math] al punto [math] (c, d) [/ math] .