Cómo resolver el determinante sin expandirlo

Answer 1

Hay algunos puntos para recordar por esto

1. Si todos los términos de un determinante están en AP o GP, el valor del determinante es 0.
2. Si dos filas / columnas de un determinante son iguales, el valor del determinante es 0.
3. Deje que un determinante sea D de orden n × n. Si D ‘es el determinante formado por los cofactores correspondientes de elementos de D, entonces D’ = D ^ (n-1)
4. Si encuentra una pregunta con un determinante que contiene números complejos y se le pregunta si el determinante es puramente imaginario o puramente real o una mezcla, simplemente descubra el conjugado del determinante. Si el conjugado es igual al negativo del determinante, este (determinante) es puramente imaginario. Si el conjugado es igual al valor del determinante, es puramente real, de lo contrario, es una mezcla.

Eso es todo Agregaré más si encuentro algún otro punto.

Arinjay Pathak.

Answer 2

En primer lugar, verifique estos puntos en un determinante dado

1. Si una matriz tiene todos los elementos cero en cualquier fila o columna, entonces el valor de su determinante es cero.

2. Si una matriz tiene dos filas o columnas idénticas, entonces el valor de su determinante es cero.

Si estos puntos no están allí en una matriz dada, entonces aplique la transformación Elemental de fila o columna para convertir la matriz dada en forma de matriz triangular superior (ya que sabemos que el determinante de la matriz triangular superior es el producto de todos los elementos diagonales)

Answer 3

Es posible que no pueda resolver todos los determinantes que ve utilizando este método. Pero hay una manera, y al menos puede decir si el determinante es positivo o negativo o cero usando esto.

Pongamos un ejemplo. Considere la matriz que tiene columnas (0,1) y (-1,0). Necesita el determinante de esta matriz. Así que primero debes entender qué es la matriz, qué te está diciendo. Toda matriz es una transformación del espacio. Como esta matriz es 2 × 2, esta matriz es una transformación del espacio 2D. Exactamente cómo es la transformación? Sencillo. Simplemente examine las columnas (o las filas, lo que sea más fácil. Voy con columnas aquí). La primera columna le indica la nueva ubicación del vector (1,0), IE, el vector unitario a lo largo de x. La segunda columna le dice la nueva ubicación de (0,1), I, E, el vector unitario a lo largo de y. Entonces, ahora sabe que el vector unitario a lo largo de x es ahora el vector unitario a lo largo de y y el vector unitario a lo largo de y ahora es el vector unitario a lo largo de -x. ¡Entonces, esta matriz toma su espacio 2D y lo gira 90 ° en sentido antihorario!

Ahora, ¿qué significa el determinante? Determinante es el factor de escala del área (en el caso del espacio 2D. Si el espacio fuera 3D, entonces sería el factor de escala del volumen). Básicamente, sus vectores (1,0) y (0,1) son lados adyacentes de un cuadrado. Si forma el cuadrado completo, el área del cuadrado es 1. Determinante es el área de la misma región, DESPUÉS de que la matriz la transforma. Como aquí, simplemente está girando el espacio 2D en 90 °, el área del cuadrado no cambió de ninguna manera. Entonces área nueva = área vieja. Entonces, área nueva / área antigua = factor de escala = 1. Entonces, aquí, el determinante de la matriz debe ser igual a 1. Verifíquelo expandiendo la matriz, y verá.

Si lo que estoy diciendo te confunde, mira la serie de videos en YouTube titulada “La esencia del álgebra lineal” de 3Blue1Brown.

Espero que esto ayude.

Con saludos,

Akshay Mujumdar

Answer 4

Las otras respuestas señalan que a veces se puede ver que el determinante será cero “por inspección”. Esto es cierto cada vez que las filas o columnas de una matriz son linealmente dependientes, incluso si alguna fila o columna es cero, o si dos filas o las columnas son iguales (¡aunque no necesariamente si una fila es igual a una columna!)

Pero si su pregunta es si existe una alternativa a la expansión por cofactores para calcular manualmente el determinante de una matriz general desde cero, entonces la respuesta es probablemente no. La expansión por cofactores es la forma correcta.

Si ya tiene alguna información sobre la matriz, es posible que pueda usarla. Por ejemplo, el determinante de una matriz es igual al producto de sus valores propios (incluida la multiplicidad). Entonces, si ya conoce los valores propios (y su multiplicidad), puede encontrar fácilmente el determinante. Pero hacer esto a mano sería más lento que la expansión, porque generalmente encuentra el determinante de [math] sI-A [/ math] como uno de los pasos.

Si está escribiendo un código de propósito general para calcular determinantes, entonces podría tener sentido encontrar los valores propios. La razón es que las rutinas numéricas para encontrar valores propios funcionan de manera muy diferente al procedimiento manual habitual, y debido a que es un cálculo tan importante, existen implementaciones muy rápidas. Entonces, si la pregunta es sobre computación, entonces una respuesta es encontrar los valores propios usando una función de biblioteca estándar, y luego multiplicarlos.

Editar: Lo siento, no me di cuenta de que estabas preguntando sobre una matriz específica. Dejaré esto aquí por si alguna vez lo quieres.

Answer 5

Si dos filas o columnas del determinante son iguales, entonces el valor del determinante es 0. Tome 5 ^ 2 comunes de la primera fila y luego tome 5 ^ 3 comunes de la segunda fila. entonces obtendrá la primera y la segunda fila igual a 1 5 5 ^ 2. Como ambas filas son iguales, el valor del determinante será 0 (cero). A propósito, no adjunto una imagen, ya que debe resolverla usted mismo. Tratar de entender. Ver la solución directamente no lo ayudará a largo plazo.

Gracias !

Answer 6

Debe conocer algunas propiedades determinantes básicas.

Si dos filas de cualquier matriz son iguales, entonces el determinante de la matriz será cero.

Si saca 5 de la segunda fila, la primera y la segunda fila serán las mismas.

Esto significa que el determinante de la matriz es cero.