Cómo resolver [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ x (an + b) = [/ matemáticas] [matemáticas] c [/ matemáticas] para x algebraicamente

Answer 1

La única forma en que esto tiene sentido es si [math] x [/ math] es un número natural.

[matemáticas] \ displaystyle c = \ sum_ {n = 1} ^ {x} (an + b) = a \ sum_ {n = 1} ^ {x} n + b \ sum_ {n = 1} ^ {x} 1 [/ matemáticas]

La fórmula bien conocida para la suma de números naturales es:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {x} n = 1 + 2 + 3 +… + x = \ dfrac {x (x + 1)} {2} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] c = a (\ dfrac {x (x + 1)} {2}) + bx [/ matemáticas]

[matemáticas] 2c = ax ^ 2 + ax + 2bx [/ matemáticas]

[matemática] 0 = ax ^ 2 + (a + 2b) x – 2c [/ matemática]

Si [matemática] a = 0 [/ matemática] tenemos una ecuación lineal [matemática] 2bx = 2c [/ matemática] o [matemática] x = c / b. [/ Matemática] (te dejaré pensar en qué significa cuando [math] b = 0 [/ math] también.) De lo contrario, tenemos una ecuación cuadrática, entonces

[matemáticas] x = \ dfrac {- (a + 2b) \ pm \ sqrt {(a + 2b) ^ 2 + 8ac}} {2a} [/ matemáticas]

Eso no se está volviendo mucho más simple, así que paremos aquí. Tenga en cuenta que necesitamos que todo esto sea un número natural. Si no es así, no hay solución.

Comprobación: vamos a elegir un ejemplo que sabemos que funciona. ¿Qué tal [matemáticas] a = 1, [/ matemáticas] [matemáticas] b = 2, [/ matemáticas] [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], dando [matemáticas] c = (1 + 2) + (2+ 2) = 7. [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {5 ^ 2 + 8 (7)}} {2} = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {81}} {2} = \ dfrac {- 5 \ pm 9} {2} [/ matemáticas]

Solo la raíz más da un número natural, dando [matemáticas] x = 2 \ quad \ marca de verificación. [/ Matemáticas]

Answer 2

x tiene que ser entero que satisfaga [matemáticas] \ frac {ax (x + 1)} {2} + bx = c, x ^ 2 + (1+ \ frac {2b} {a}) x = \ frac {2c} {a} [/ matemáticas]

que solo se resolverá en enteros para a, b, c muy particulares

Answer 3

La ecuación se puede reescribir como [matemáticas] a \ sum_ {n = 1} ^ xn + \ sum_ {n = 1} ^ xb = c [/ matemáticas].

La primera suma es igual a [matemáticas] x (x + 1) / 2 [/ matemáticas], la segunda es simplemente [matemáticas] xb [/ matemáticas].

Sustituyendo, [matemática] ax (x + 1) / 2 + xb = c [/ matemática] es una ecuación de segundo orden regular (solución). El solo es válido para valores de [matemática] a, b, c [/ matemática] donde [matemática] x [/ matemática] es un entero positivo, ya que esa es la restricción en la ecuación original.

Answer 4

[matemáticas] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ x (an + b) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ x an + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ xb = a \ cdot \ sum \ límites_ {n = 1} ^ xn + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ xb = a \ cdot \ frac {x ^ 2 + x} {2} + bx [/ math]

Entonces [matemática] ax ^ 2 + (a + 2b) x = 2c \ implica x ^ 2 + \ frac {a + 2b} {a} x- \ frac {2c} {a} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (x + \ frac {a + 2b} {2a}) ^ 2 – (\ frac {a + 2b} {2a}) ^ 2- \ frac {2c} {a} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ pm \ sqrt {\ frac {(a + 2b) ^ 2-8ac} {4a ^ 2}} – \ frac {a + 2b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {( a + 2b) ^ 2-8ac} – (a + 2b)} {2a} [/ matemáticas]