Para encontrar el inverso de [math] y = [/ math] [math] f (x), [/ math] ponemos [math] x = f (y) [/ math] y resolvemos [math] y [/ math ]
Entonces tenemos que resolver:
[matemáticas] x = y ^ 3 + y \ etiqueta {1} [/ matemáticas]
Reorganizando
- ¿Qué hace la expresión R ‘2x’ <- 14?
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] x ^ x = 64 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo cada función diferenciable es continua?
- Cómo probar [math] \ int_0 ^ {2 \ pi} \ sin (mt) \ cos (nt) \, dt = 0 [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math] y [math] m [ /matemáticas]
- Cómo integrar [math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, \ dfrac {e ^ {- ixp / \ hbar}} {x ^ 2 + a ^ 2} \, dx [/ math]
[matemáticas] y ^ 3 + yx = 0 \ etiqueta {2} [/ matemáticas]
Este es un cúbico en [matemáticas] y [/ matemáticas]. Los siguientes pasos pueden parecer aleatorios, pero en realidad son parte de un procedimiento llamado Método de Cardano, que se usa para resolver cúbicos.
Poner [matemáticas] y = p + q [/ matemáticas]
[matemáticas] (p + q) ^ 3 + (p + q) -x = 0 \ tag {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 + (3pq + 1) (p + q) -x = 0 \ tag {4} [/ matemáticas]
Ahora, dado que tenemos dos grados de libertad con [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas], decimos descaradamente que son tales que el término medio desaparece, es decir:
[matemáticas] (3pq + 1) (p + q) = 0 \ etiqueta {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto pq = \ dfrac {-1} {3} \ tag {6} [/ matemáticas]
Cubicando ambos lados,
[matemáticas] p ^ 3 q ^ 3 = \ dfrac {-1} {27} \ tag {7} [/ matemáticas]
También de [math] (4) [/ math] ya que el término medio desaparece [math]: [/ math]
[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 = x \ etiqueta {8} [/ matemáticas]
Ahora, consideramos una cuadrática en [matemáticas] t [/ matemáticas] con raíces [matemáticas] p ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] q ^ 3 [/ matemáticas].
[matemáticas] t ^ 2- (p ^ 3 + q ^ 3) + p ^ 3 q ^ 3 = 0 \ etiqueta {9} [/ matemáticas]
Poniendo [matemáticas] (7) [/ matemáticas] y [matemáticas] (8) [/ matemáticas] en [matemáticas] (9) [/ matemáticas]:
[matemáticas] t ^ 2-xt- \ frac {1} {27} = 0 \ etiqueta {10} [/ matemáticas]
[matemáticas] 27t ^ 2-27xt-1 = 0 \ etiqueta {11} [/ matemáticas]
Resolver usando la fórmula cuadrática producirá que
[matemáticas] t_1, t_2 = p ^ 3, q ^ 3 = \ dfrac {27 \ pm \ sqrt {729x ^ 2 + 108}} {54} [/ matemáticas]
Ahora, [matemáticas] y = p + q [/ matemáticas]
[matemáticas] y = (p ^ 3) ^ {\ frac {1} {3}} + (q ^ 3) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {\ dfrac {27+ \ sqrt {729x ^ 2 + 108}} {54}} + \ sqrt [3] {\ dfrac {27- \ sqrt {729x ^ 2 + 108 }} {54}} [/ matemáticas]
Y ya hemos terminado.
Si algo no está claro, por favor comente.
Para leer más sobre cómo resolver los cúbicos, puede encontrar lo siguiente útil.
https://goo.gl/RjmPZt