¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] x ^ x = 64 [/ matemáticas]?

Otro enfoque es el método de bisección. Vale la pena entender esta técnica porque es flexible y puede usarse para resolver una amplia variedad de problemas.

Aquí hay una implementación de bisección para este problema específico en Python 2.7:

x_lower = 3 # Establezca un límite inferior inicial para x: 3 ^ 3 = 27; 27 <64
x_upper = 4 # Establezca un límite superior inicial para x: 4 ^ 4 = 256; 256> 64

# Disminuya la distancia entre los límites hasta que sea lo suficientemente pequeña
mientras cierto:
# Salida conjetura actual para x a la consola
print ‘Adivinación actual para x:% f’% x_lower
print ’64 – guess ^ guess:% f ‘% (64 – x_lower ** x_lower)
impresión

Deje de refinar adivine si la diferencia entre el límite superior e inferior es pequeña
si x_upper – x_lower <10 ** – 6:
rotura

# Calcular el punto medio de los límites
punto medio = (x_lower + x_upper) / 2.

# Si el punto medio es menor que x, conviértalo en el nuevo límite inferior
si punto medio ** punto medio <64:
x_lower = punto medio
# De lo contrario, conviértalo en el nuevo límite superior
más:
x_upper = punto medio

Aquí está la salida del código:

Adivinación actual para x: 3.000000
64 – adivina ^ adivina: 37.000000

Conjetura actual para x: 3.250000
64 – adivina ^ adivina: 17.908491

Conjetura actual para x: 3.375000
64 – adivinar ^ adivinar: 3.336984

Conjetura actual para x: 3.390625
64 – adivina ^ adivina: 1.197084

Conjetura actual para x: 3.398438
64 – adivinar ^ adivinar: 0.097264

Conjetura actual para x: 3.398926
64 – adivina ^ adivina: 0.027851

Conjetura actual para x: 3.399048
64 – adivinar ^ adivinar: 0.010485

Conjetura actual para x: 3.399109
64 – adivina ^ adivina: 0.001801

Conjetura actual para x: 3.399117
64 – adivina ^ adivina: 0.000715

Conjetura actual para x: 3.399120
64 – adivina ^ adivina: 0.000172

Conjetura actual para x: 3.399121
64 – adivina ^ adivina: 0.000036

La última sección de la salida muestra que el algoritmo convergió a [math] \ mathbf {x \ approx 3.399121} [/ math].

Cómo hacer que los puntos críticos de dos ecuaciones sean iguales

¿Cuáles son las aplicaciones de la vida real de los polinomios?

¿Cómo resolver esto?

Cómo integrar dx / sin (xa) cos (xb)

¿Cómo cada función diferenciable es continua?

¿Qué hace que un material se comporte como conductor, aislante y como semiconductor?

solo mostrando cómo llegar a la respuesta de Jack Fraser:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ x = 64 [/ matemáticas]

aplicando registro natural en ambos lados

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ ln (x ^ x) = \ ln (64) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x \ ln (x) = \ ln (64) [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica e ^ {\ ln (x)} \ ln (x) = \ ln (64) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ ln (x) e ^ {\ ln (x)} = \ ln (64) [/ matemáticas]

aplicando la función Lambert-W en ambos lados

[math] \ displaystyle \ implica W (\ ln (x) e ^ {\ ln (x)}) = W (\ ln (64)) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ ln (x) = W (\ ln (64)) [/ matemáticas]

exponiendo ambos lados con la base de [matemáticas] e [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = e ^ {W (\ ln (64))} [/ matemáticas]

Aryan Arora

3³ = 27

4 ^ 4 = 4² × 4² = 16² = 256

3.5 ^ 3.5 = 80.21

3.4 ^ 3.4 = 64.125

3.4

3.39 ^ 3.39 = 62.72

3,39

3.394 ^ 3.394 = 63.28

3.394

3.399 ^ 3.399 = 63.98

3.399

3.3992 ^ 3.3992 = 64.01

3.3990

3.3991 ^ 3.3991 = 63.991

3.39910

3.3 9911 ^ 3.39911 = 63.9980

3.39911

3.339912 ^ 3.339912 = 63.9998

3.39912

3.39913 ^ 3.39913 = 64.0012

3.3399120

3.3399121 ^ 3.3399121 = 63.9999

∴x≈3.399121

Awnon Bhowmik

[matemáticas] x ^ x = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x \ ln x = \ ln 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {\ ln x} \ ln x = \ ln 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ ln x = W (\ ln 64) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = e ^ {W (\ ln 64)} [/ matemáticas]

donde [math] W [/ math] es la función Lambert.

Awnon Bhowmik

Soy un estudiante de secundaria, así que hice lo que sé

x ^ x = 64

xln (x) = ln (64)

ln (xln (x)) = ln (ln (64))

ln (x) + ln (ln (x)) = ln (ln (64))

considere ln (ln (x)) = t

e ^ (t) + t = ln (ln (64))

ahora tienes que dibujar la gráfica de

y = e ^ (t) + t e y = ln (ln (64))

y el punto de cruce es t

El valor de t es alrededor de 0.2 (no es el valor exacto)

ln (ln (x)) = 0.2

x = e ^ (e ^ (0.2))

x = 3.39

Aryan Arora

La respuesta exacta es (por definición):

[matemáticas] x = e ^ {W (\ ln (64))} [/ matemáticas]

Donde [math] W (X) [/ math] es la función Lambert W.

Esta no es una buena expresión: la función W no se puede expresar en términos de funciones elementales, lo que apesta.

Por lo tanto, tenemos que aceptar una respuesta calculada numéricamente, que es necesariamente solo una aproximación, pero deberíamos hacerlo con fines prácticos:

[matemáticas] x \ aprox 3.39912 [/ matemáticas]

(Supuse implícitamente que desea [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math]; de lo contrario, hay un número infinito de soluciones)

Gajive Bala

Una forma diferente, para alguien como yo que no ha estado en una clase de matemáticas durante 45 años +/-, para obtener una aproximación usando una calculadora gráfica y un gambito para simplificar:

Comenzamos con x ^ x = 64

Tomando la raíz x-ésima de ambos lados:

x = 64 ^ (1 / x)

Ahora, mirándolo de una manera ligeramente diferente,

“Algo” es igual a 64 ^ (1 / x), (y ese algo es igual a x).

Entonces, ¿qué obtengo si miro solo a un lado por el momento, así que y = 64 ^ (1 / x)? (De este modo, deshacerse por el momento de la variable x desagradable a la izquierda).

Una encantadora curva hiperboloide-ish de aspecto simétrico en el cuadrante superior derecho del plano cartesiano (más alguna otra basura).

Pero, y es realmente x, así que miro también y = x, la línea en un ángulo de 45 grados, y noto que la curva similar a un hiperboloide satisface la ecuación original donde las dos curvas se cruzan.

Ingrese la calculadora gráfica y podemos ver que estamos cerca de 3.399.

Awnon Bhowmik

Un posible enfoque es tomar el logaritmo en ambos lados.

Tienes [matemáticas] ln (x ^ x) = ln (64) [/ matemáticas] que se convierte en [matemáticas] x ln (x) = ln (64) [/ matemáticas] para que puedas tratar de encontrar gráficamente la intersección de dos curvas a saber [matemáticas] y = ln (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = ln (64) / x [/ matemáticas].

El valor es de aproximadamente 3.4

Esto es lo que obtienes