Cómo probar [math] \ int_0 ^ {2 \ pi} \ sin (mt) \ cos (nt) \, dt = 0 [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math] y [math] m [ /matemáticas]

Answer 1

[math] sin (mt) cos (nt) [/ math] se puede escribir de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} 2 [sin ((m + n) t) + sin ((mn) t)] [/ matemáticas]

Ahora, recuerde que, cuando sin ( a x) está integrado de 0 a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]; donde a es un número entero, la integración es CERO {demostrado más tarde}

Como m + ny mn son enteros, la integración de sin ({m + n} t) + sin ({mn} t) de 0 a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] será CERO + CERO = CERO.

Aquí está la intuición para: “ cuando sin (ax) se integra de 0 a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] ; donde a es un número entero, la integración es CERO. ”

asuma estas funciones [matemáticas] sinx, sin2x, sin3x, sin4x…. [/ matemáticas]

período de estas funciones [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] / 3, [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] / 2 … …

sabemos que, para la función pecado, la integración durante un período es cero.

En el intervalo de 0 a [math] \ mathbf {2 \ pi} [/ math] :

cuando el período es [matemática] 2 \ pi [/ matemática], se producirá exactamente un ciclo.

cuando el período es [math] \ pi [/ math], se producirán exactamente dos ciclos.

cuando el período es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] / 3, se producirán exactamente tres ciclos.

cuando el período es [math] \ pi [/ math] / 2, se producirán exactamente cuatro ciclos.

Sabemos que cada ciclo contribuye cero a la integración. por lo tanto, la integración total (o a [matemática] 2 \ pi [/ matemática]; con uno o más ciclos) será solo cero.

Observe que, para un no entero, el ciclo no se completará y, por lo tanto, la integración puede desviarse de cero.

Answer 2

Sea Ι = sin (mt) cos (nt) ⑴

⑴ PARA INCLUSO entero m = n,

(i) m = n = 0

I = 0,

ID = dt0dt

DI = [0,2π] ∫0dt,

DI = (0,2π) [constante] = 0

(ii) m = 0, n ± 0

I = 0, DI = 0 como en (i)

(iii) m ≠ 0, n = 0

I = pecado (mt)

ID = —cosmt / m

DI = – (cos2mπ — cos0) = – (1–1) = 0

⑵ PARA m = n = k ≠ 0

I = (coskt) (sinkt)

= ½sin2kt

ID = – (1 / 4k) cos2kt

DI = (- 1 / 4k) (cos4kπ — cos0)

= (- 1 / 4k) (1–1)

= 0

⑵ Para cualquier n y m distinto de cero, m ≠ n,

I = ½ {sin (m + n) t + sin (mn) t}

ID = -½ {1 / (m + n) cos (m + n) t + 1 / (mn) cos (mn) t}

DI = -½ {[1 / (m + n) cos2π (m + n) + 1 / (mn) cos2π (mn)] – [1 / (m + n) cos0 + 1 / (mn) cos0]}

= -½ {[1 / (m + n) + 1 / (mn)] – [1 / (m + n) + 1 / (mn)]}

= 0

Answer 3

Puedes escribir pecado y cos en términos de exponente e. Luego intente integrar el exponente. Verá que uno de los términos se desvanece a cero dando como resultado 0 como resultado de la integral. Resolver la integral a continuación también te dará una idea

Además, si está motivado, también puede tomar diferentes límites cuya diferencia es 2pi y observar lo que sucede con la integral.

Espero que te ayude

Answer 4

Espero que entiendas esto

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Answer 5

Aquí está su prueba.