¿Cómo podemos expresar una raíz de cualquier polinomio como una serie numérica de modo que pueda calcularse con precisión arbitraria?

Answer 1

Quizás uno de los métodos más simples para hacer esto, que funciona especialmente para los polinomios, es el método de Newton. Cualquier función polinómica es continua, lo que ayuda a que el método de Newton funcione bien.

A partir de un polinomio [matemático] p (x) = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n a_kx ^ k [/ matemático], su derivada es [matemático] p ^ \ prime (x) = \ displaystyle \ sum_ { k = 0} ^ {n-1} na_kx ^ {k-1} [/ math]. Por el método de Newton, la secuencia

[matemáticas] x_ {r + 1} = x_r- \ dfrac {\ sum_ {k = 0} ^ n a_kx_r ^ k} {\ sum_ {k = 0} ^ {n-1} na_kx_r ^ {k-1}} [/matemáticas]

converge a una raíz de [matemáticas] p (x) [/ matemáticas].

Como desea una serie , en lugar de una secuencia , puede tomar diferencias sucesivas de esta secuencia y sumarlas para obtener su serie.

Para un ejemplo simple, aproximamos [math] \ sqrt [3] {10} [/ math] al encontrar una serie para la raíz de [math] x ^ 3-10 [/ math]. Comenzamos con [matemáticas] x_0 = 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] x_1 = 2- \ dfrac {2 ^ 3-10} {3 \ cdot 2 ^ 2} = 2 + \ frac {1} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = \ frac {13} {6} – \ dfrac {(\ frac {13} {6}) ^ 3-10} {3 \ cdot (\ frac {13} {6}) ^ 2} = \ frac {13} {6} – \ frac {37} {3042} [/ math]

[matemáticas] x_3 = (\ frac {3277} {1521}) – \ dfrac {(\ frac {3277} {1521}) ^ 3-10} {3 \ cdot (\ frac {3277} {1521}) ^ 2 } = \ frac {3277} {1521} – \ frac {3377323} {49000820427} [/ math]

y así.

Entonces podemos escribir [math] \ sqrt [3] {10} [/ math] como la serie

[matemáticas] 2+ \ frac {1} {6} – \ frac {37} {3042} – \ frac {3377323} {49000820427} + \ cdots [/ math]

Para los polinomios que tienen más de una raíz real, reinicie el método de Newton en diferentes [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] para encontrar diferentes raíces.

Tenga en cuenta que el método de Newton no es muy adecuado para encontrar raíces complejas. Sin embargo, aún puede hacerlo: vea, por ejemplo, el artículo Cómo encontrar todas las raíces de polinomios complejos por el método de Newton.