Cómo demostrar que una función está aumentando

Answer 1

Para mostrar que [matemática] f (x) [/ matemática] está aumentando, el objetivo siempre es mostrar que si [matemática] x <y [/ matemática] entonces [matemática] f (x) 0 [/ math]. Sin embargo, no siempre puedes hacerlo de esta manera.

Hagamos un ejemplo donde funciona el método derivado. Considere [matemáticas] f (x) = x ^ 3 + x [/ matemáticas]. Esta es una función creciente ya que [math] f ‘(x) = 3x ^ 2 + 1 [/ math] siempre es mayor o igual a 1, ya que [math] x ^ 2 \ geq 0 [/ math]. (Gráfico [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas]!)

Sin embargo, solo comprobar que la derivada es positiva no funciona si su dominio no es un intervalo. Por ejemplo, considere la función [matemática] f (x): (-1,1) \ cup (2,4) [/ matemática] definida por [matemática] f (x) = x [/ matemática] en [matemática] (-1,1) [/ matemática] y [matemática] f (x) = x – 4 [/ matemática] en [matemática] (2,4) [/ matemática]. La derivada siempre es positiva: [matemática] f ‘(x) = 1 [/ matemática] para [matemática] x [/ matemática] en [matemática] (- 1,1) \ cup (2,4) [/ matemática] . A pesar de esto, [matemática] f (x) [/ matemática] no es una función creciente, ya que [matemática] 0 <3 [/ matemática] pero [matemática] f (0) = 0 [/ matemática] no es menor que [ matemáticas] f (3) = -1 [/ matemáticas]. (Gráfico [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas]!)

Por el contrario, ¡no todas las funciones de aumento tienen [math] f ‘(x)> 0 [/ math]! Por ejemplo, tome [math] f (x) = x ^ 3 [/ math]. Como [math] x <y [/ math] implica [math] x ^ 3 <y ^ 3 [/ math], [math] f [/ math] es una función creciente, pero su derivada no siempre es positiva. De hecho, [matemáticas] f ‘(0) = 0 [/ matemáticas].

La situación empeora cuando tiene funciones que realmente no tienen derivadas. Tomemos, por ejemplo, la función [matemáticas] f (n) = n! [/ Matemáticas], definida para los enteros positivos. [math] f (x) [/ math] está aumentando, pero ni siquiera tiene una derivada.

Answer 2

ensayo demuestra que su derivada siempre es positiva> por ejemplo, x ^ 3 es una función creciente porque su derivada es 3x ^ 2 y x ^ 2 siempre será positiva en R ^ 1

Answer 3

Si. X. sea cualquier variable, el símbolo #X se usa para denotar un aumento en el valor de la función o variable. Deje que # representa la pequeña ‘d’ griega y se pronuncia delta. # X no significa # × X. Los símbolos no deben separarse. Por lo tanto, #X significa “un incremento en X”

Si. Y = f (x)

Y + # Y = f (x + # x)

# Y = f (x + # x) -f (x) (recuperar Y = f (x)

Answer 4

Algunas formas de hacerlo:

1. Demuestre que para todo x, y, x> y => f (x)> f (y)
2. Si su función es diferenciable, encuentre su derivada: su función aumenta cada vez que su derivada es positiva.

Elija la forma más adecuada, pero estos 2 deberían cubrir la mayoría de sus casos.

Answer 5

Answer 6

Una función diferenciable aumenta en un punto particular si su derivada es positiva allí. Sin embargo, si no es diferenciable, es posible que tenga que hacer algo más: depende de cómo se da o define la función.

Answer 7

Después de tomar la diferenciación si ve que la función diferenciada f` (x) aumenta para un cierto rango de valor de x, la función aumenta para esos valores de x

Answer 8

Para probar que [math] f (x) [/ math] está aumentando, demuestre que el rango de [math] f ‘(x) [/ math] está por encima de [math] 0 [/ math].