Cómo encontrar el área encerrada por [matemáticas] 2 | x | +3 | y | \ le 6 [/ matemáticas]

Answer 1

Ya se han escrito muchas respuestas sobre esto. Pero aún así, gracias por el A2A!

Permítanme intentar resaltar algunos aspectos interesantes de esta pregunta.

• Considerando solo la parte de la ecuación de la pregunta, es decir, [matemática] 2 | x | + 3 | y | = 6 [/ math], podemos ver que el gráfico resultante será simétrico respecto al eje x y al eje y.

¿Cómo se esto? … reemplace [math] x [/ math] con [math] (- x) [/ math]. ¿Ves algún cambio en la ecuación? No … esto significa que el gráfico es simétrico respecto al eje y. De manera similar, verifique [math] (- y) [/ math] y podemos confirmar que el gráfico es simétrico respecto al eje x. Por lo tanto, debemos preocuparnos solo por el primer cuadrante.

• Los módulos (lu) s operandi : [matemáticas] | x | = x, x \ geq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] | x | = -x, x <0 [/ matemáticas]

Entonces, en el cuadrante [matemática] 1 [/ matemática] ya que tanto [matemática] x [/ matemática] como [matemática] y [/ matemática] son ​​positivas, tendremos la desigualdad de módulo reemplazada por [matemática] 2x + 3y \ leq 6 [/matemáticas]

• Cualquier línea en el plano de coordenadas divide el plano en dos partes. La línea misma satisface la ecuación de la línea y una parte del plano satisface la desigualdad (mayor que).

Considerando [matemática] 2x + 3y = 6 [/ matemática], la línea se cruza con el eje x en 3 y el eje y en 2.

Ahora, elijamos un punto de un lado de la línea: digamos [math] (0, 0) [/ math], sustituya en la línea y listo … la desigualdad se satisface 🙂 Entonces, la parte de origen de la línea satisface la desigualdad; consulte el primer punto y entendemos que podemos ver un bonito paralelogramo alrededor del origen.

• Área requerida = (Área en el primer cuadrante) x 4

Como se dijo anteriormente, la línea intersecta los ejes x e y en 3 y 2 respectivamente; El área en el primer cuadrante será el área del triángulo rectángulo de 2 unidades de altura y 3 unidades de base.

Entonces, el área requerida [matemáticas] = \ frac {1} {2} * 3 * 2 * 4 = 12 [/ matemáticas] unidades cuadradas

Espero que esto ayude a resolver más problemas de este tipo.

Answer 2

2 | x | +3 | y | <= 6;

Usando la propiedad de mod, se formarán cuatro ecuaciones:

2x + 3y = 6;

-2x + 3y = 6;

2x-3y = 6;

-2x-3y = 6;

Ahora podemos ver que estas son las ecuaciones de líneas rectas, formamos cuatro cuatro líneas rectas en el gráfico;

Necesitamos tomar el área encerrada dentro de las líneas rectas por la misma razón por la cual se da <= 6.

Ahora el área cubierta en el primer cuadrante es

1/2 * 3 * 2 = 3

Entonces área total = 4 * 3 = 12;

Answer 3

el polígono está claramente dividido en [matemática] 4 [/ matemática] triángulos iguales, por lo que la forma más simple es encontrar el área de uno de los triángulos y luego multiplicarlo por [matemática] 4 [/ matemática], entonces el área de uno de los triángulos son [matemática] \ frac {\ text {base} \ times \ text {height}} {2} = \ frac {3 \ times 2} {2} = 3 [/ math], entonces el área del polígono es [matemáticas] 3 \ veces 4 = 12 [/ matemáticas].

Answer 4

La ecuación dada se puede resolver en 4 ecuaciones diferentes después de eliminar el mod

(| |) signo. Las ecuaciones son:

1. 2x + 3y = 6
2. -2x-3y = 6
3. -2x + 3y = 6
4. 2x-3y = 6

El gráfico de estas líneas producirá la siguiente figura.

El signo menor que e igual a significa que tenemos que encontrar el área encerrada entre estas líneas.

A partir de la figura, el área se puede calcular como:

Área del triángulo en el primer cuadrante: 1/2 * (3 * 2) = 3

Área de la figura entera (cuadrado): 4 * 3 = 12

Por lo tanto, el área cerrada es de 12 unidades.

Answer 5

PARA el primer cuadrante x> 0 e y> 0

ahora el área es 1/2 (2 * 3) = 3

de manera similar para todos los cuadrantes requeridos son 4 * 3 = 12

Answer 6

límites de la región:

2x + 3y = 6

2x-3y = 6

-2x + 3y = 6

-2x-3y = 6

El área encerrada es el rombo ABCD:

A (3,0), B (0-2), C (-3,0), D (0,2)

Área del rombo = ½AC × BD = ½ × 6 × 4 = 12 unidades cuadradas.

Answer 7

Nos damos cuenta de que nos da un polígono convexo.

El área de un polígono convexo con coordenadas dadas se calcula mediante la fórmula:

[matemáticas] A = \ dfrac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_1 & x_2 & … & … & x_n & x_1 \\ y_1 & y_2 & … & … & y_n & y_1 \ end {vmatrix} [/ math ]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} | (x_1y_2 + x_2y_3 +…) – (x_2y_1 + x_3y_2 +…) | [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ dfrac {1} {2} \ begin {vmatrix} -3 & 0 & 3 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} (| 6–0 | + | 0–6 | + | -6–0 | + | 0 + 6 |) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 12 [/ matemáticas]

Answer 8

Aunque es excesivo, el teorema de Pick: Wikipedia funciona.

11 + 4 / 2–1 = 12.

Answer 9

Como está relacionado con el problema del módulo

Generalmente este tipo de preguntas forman un cuadrilátero.

Al romper el módulo y encontrar el punto de coordenadas en los ejes xey

Obtenemos

X = (3,0) y (-3,0)

y = (2,0) y (-2,0)

Entonces puedes encontrar el área encerrada

Eso es 12 unidades cuadradas

Answer 10

Tenga en cuenta que sea cual sea la figura que sea, será simétrica en los ejes x e y. Entonces solo necesitamos calcular el área de la figura en un cuadrante. Tratando de calcular el área de la figura en el primer cuadrante, vemos que el borde de la figura será

2x + 3y = 6, y la porción de la figura en el primer cuadrante incluirá todos los puntos entre esta línea y los ejes. Esto significa un triángulo rectángulo en ángulo recto en el origen y los lados de las longitudes 2 y 3 a lo largo de los ejes. El área de este triángulo es (1/2) * 3 * 2 que resulta ser 3. Dado que la figura es simétrica en los ejes xey, el área total de la figura es 4 * 3, que es 12.

Answer 11

Dibuja cuatro segmentos diferentes de líneas rectas en diferentes cuadrantes.

1. 2x + 2y = 6 para x> 0, y> 0
2. -2x-2y = 6 para x <0, y <0
3. 2x-2y = 6 para x> 0, y <0
4. -2x + 2y = 6 para x <0, y> 0

Obtendrá un cuadrilátero con diagonales mutuamente perpendiculares (no nos importa si es un paralelogramo, en realidad es un rombo). Las longitudes de las diagonales son 4 y 6. Necesitamos calcular su área. Son las 12.