¿Cuál es la anti-derivada de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]?

Answer 1

Como dijo Kiseki, la antiderivada no puede escribirse en términos de funciones elementales. Sin embargo, una aplicación genial de la integral indefinida de [matemáticas] x ^ {1 / x} [/ matemáticas] es calcular la integral indefinida de la torre de energía infinita [matemáticas] y = x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}} [/ math]. Debido a que [matemática] y [/ matemática] es monotónica aumentando en [matemática] [e ^ {- e}, e ^ {1 / e}] [/ matemática], está claro que podemos escribir [matemática] x = y ^ {1 / y} [/ math] para [math] y \ in [1 / e, e] [/ math]. Note entonces que podemos resolver [matemáticas] t = s ^ {1 / s} [/ matemáticas] para [matemáticas] s [/ matemáticas] produciendo [matemáticas] s (t) = -W [- \ log (t)] / \ log (t) [/ math] (donde [math] W [/ math] es la función Lambert [math] W [/ math]) y, por lo tanto, después de un poco de geometría básica, tenemos [math] \ int_ { e ^ {- e}} ^ xt ^ {t ^ {t ^ {\ cdots}}} \ text {d} t = (x + e ^ {- e}) s (x) – 2 e ^ {- ( 1 + e)} – \ int_ {1 / e} ^ {s (x)} t ^ {1 / t} \ text {d} t [/ math]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ int x ^ x \, dx [/ matemáticas]

Esto se llama el sueño integral de Sophomore y no se puede expresar en términos de funciones elementales.

Answer 3

La anti-derivada de x ^ x es inexpresable en términos de funciones elementales.