¿Por qué tenemos que igualar el dy / dx de una función cuadrática a cero para encontrar el punto de inflexión de la curva gráfica?

Pensemos en retrospectiva desde el concepto de un punto de inflexión y por qué es importante. Esto toma un par de pasos. Cuando usamos la idea de una función, estamos tratando de ver qué sucede con el valor de la función cuando ponemos un valor para x. Un gráfico es una muy buena manera de ver cómo los cambios en la unidad x cambian en y (el valor de la función). Imagine una parábola abierta hacia arriba como F (x) = x ^ 2.

Si comenzamos a examinarlo, observe los valores negativos de x y observe lo que le sucede a y cuando movemos x hacia la derecha. Con x aumentando, y disminuye. Eso sigue sucediendo hasta x = o donde la tasa de cambio de la función, por un instante, deja de disminuir, y luego en x> 0, y comienza a aumentar.

El cambio de disminución a aumento implica necesariamente un momento de pendiente 0. En todas partes que x 0, y está aumentando. La pendiente es una medida de la tasa de disminución o aumento

Y esa es tu pista. La derivada de una función es su pendiente.

Con una cuadrática que tiene un gráfico en forma parabólica, cuando la pendiente llega a 0, la derivada es 0 y la disminución se detiene y comienza el aumento. Si tiene una parábola abierta hacia abajo, los cambios se invierten pero la lógica básica aún se mantiene.

Si observa funciones más complicadas con formas más elegantes, la pendiente cero siempre dice que, por un instante, el valor de y dejó de cambiar. A veces, la dirección del cambio se revertirá, y a veces la pendiente 0 es solo una pausa momentánea en una disminución o aumento, pero la pendiente 0 y una derivada 0 siempre dicen lo mismo.

Como regla general, los máximos y mínimos cuadráticos o no corresponden a puntos donde la derivada es igual a zer. Los puntos de inflexión corresponden a los puntos donde la segunda derivada es igual a cero.

El teorema dice: “Si la función tiene un punto de inflexión para algún valor de [matemática] x [/ matemática], entonces la función no tiene derivada en ese valor de [matemática] x [/ matemática] (es” puntiaguda “) o [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = 0 [/ matemáticas] ″. Si la derivada no fuera cero, la función seguiría aumentando o disminuyendo, por lo que la función no estaría girando a ese valor de x.

Tenga en cuenta que [math] \ frac {dy} {dx} = 0 [/ math] no significa necesariamente que tengamos un punto de inflexión; podríamos tener una inflexión horizontal en su lugar, por lo que se requieren más pruebas para determinar la naturaleza de este punto.

Tenga en cuenta también que un punto de inflexión solo denota un máximo o mínimo local y no global .

* A2A

Porque en el punto de inflexión tenemos una línea tangente horizontal . Una línea tangente horizontal tiene una pendiente cero . La definición de derivada de una curva en un punto define la pendiente de la línea tangente en ese punto .

Y esa es la explicación.

Para una cuadrática, no tenemos que hacerlo. Podemos encontrar el punto de inflexión de un cuadrático completando el cuadrado.

Lo hacemos al aprender Cálculo porque un cuadrático es la función más fácil de entender y tiene exactamente un punto de inflexión.

Siempre es mejor comenzar con cosas simples y construir desde allí.

Si dibuja la línea tangente a cualquier punto de inflexión de cualquier gráfico, verá que dicha línea será completamente horizontal.

¿Y cuál es la pendiente de una línea horizontal?

Así es, 0.

La derivada de una función puede considerarse como una pendiente en un punto, por lo que, usando lo que acabo de decir, la derivada en un punto de inflexión es igual a la pendiente en ese punto, que es igual a 0.

En realidad no siempre es el caso. Todo lo que necesitamos es encontrar puntos cerca de qué signo de [math] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} [/ math] está cambiando. Esos puntos son los puntos de inflexión.

Las otras respuestas no son incorrectas, pero aquí hay otra forma más intuitiva de verlo. Dx / dy es el cambio en y. Sabemos que un quadrsdic tiene un punto de inflexión / giro.

Si y no está cambiando, es decir que no va hacia arriba o hacia abajo, entonces permanece igual e indica que está en un punto plano en la curva.

En realidad, cuando encontramos un punto de curva en un gráfico, en ese punto la tangente es horizontal, lo que significa la pendiente si ese punto es cero.

Como sabemos, dy / dx nos da la pendiente de cualquier punto, por lo que equiparamos estas dos cosas que es la pendiente de la línea a cero, es decir,

dy / dx = 0

Espero que esto haya ayudado.

Es una condición necesaria para los puntos de inflexión.

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