¿Quieres decir que quieres factorizar el polinomio?
[matemáticas] 2x ^ {5} + x ^ {4} y + y ^ {5} –36 [/ matemáticas]?
Supongamos que sustituimos [math] y = ax + z [/ math] por alguna a.
[matemáticas] x ^ {4} ((2 + a) x + z) + ((hacha + z) ^ {5} –36) [/ matemáticas]
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Entonces encontraríamos que el coeficiente de [matemáticas] x ^ {5} [/ matemáticas] es [matemáticas] (2 + a + a ^ {5}) [/ matemáticas]
Obviamente queremos que esto sea cero, así que veamos si podemos resolver esto:
[matemáticas] a ^ {5} + a + 2 = 0 [/ matemáticas]
¡Afortunadamente, tenemos una solución exacta! [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas] satisface esta ecuación:
[matemáticas] (- 1) ^ {5} + (- 1) + 2 = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, podemos usar [matemáticas] a = -1 [/ matemáticas] y establecer [matemáticas] y = zx [/ matemáticas], y reducir el orden de la ecuación en [matemáticas] x [/ matemáticas] a 4 en lugar de 5 Entonces puedes resolver x en términos de [matemáticas] z [/ matemáticas] algebraicamente usando la fórmula biquadrática … no me pidas que deduzca eso, es una fórmula bastante difícil de manejar, y no estoy seguro exactamente cómo se deriva. La forma expandida es
[matemáticas] 6x ^ {4} z-10x ^ {3} z ^ {2} + 10x ^ {2} z ^ {3} –5xz ^ {4} + (z ^ {5} –36) [/ matemáticas ]
El siguiente paso si REALMENTE no desea utilizar la fórmula biquadrática es intentar transformar esto en un polinomio donde el término cúbico se desvanezca, y espere que el término lineal también se desvanezca.
En particular, podemos eliminar el término cúbico estableciendo [math] x = w- \ frac {5} {12} z: [/ math]
Sin embargo, los signos sobre las potencias de [math] x [/ math] anteriores son alternados, y esto junto con el hecho de que el coeficiente de [math] z [/ math] en nuestra expresión para [math] x [/ math] en los términos de [math] w [/ math] y [math] z [/ math] es negativo garantizarán que, como se esperaba, el coeficiente de [math] w [/ math] es una función distinta de cero de [math] z [/ matemática], con coeficientes negativos.
Entonces solo debes usar la fórmula biquadratica. Una solución entera encontrada en Wolfram Alpha da [matemáticas] x = 1, z = 3 [/ matemáticas], por lo que [matemáticas] y = 3–1 = 2 [/ matemáticas], por lo que la única solución entera que encontró fue [matemáticas] x = 1, y = 2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] 1 ^ {4} 2 + 2 ^ {5} + 1 ^ {5} 2 = 4 + 32 = 36 [/ matemáticas]
Las otras soluciones fueron menos agradables: también puede encontrarlas en Wolfram Alpha. Tenga en cuenta que tuvimos mucha suerte de que la ecuación de arriba tuviera una solución exacta que pudimos encontrar. Esa es la única razón por la que pudimos resolver esta ecuación quíntica algebraicamente, y usando la división larga polinómica podemos reducir el grado iterativamente para encontrar las cinco raíces, que es el conjunto de todos los valores posibles de x como una función de y, en general sobre los números complejos.