Cómo resolver [matemáticas] (-2) ^ x = -4 [/ matemáticas] para soluciones complejas

Answer 1

Tome el logaritmo complejo de múltiples valores de ambos lados.

Denote el logaritmo de valor real habitual por ln | x |: = r en R: exp (r) = | x |, y el logaritmo complejo multivalor más general por log (x): = {z en C: exp (z) = x}, la preimagen compleja de x con respecto a exp.

No es difícil ver que si y está en log (x), entonces y = ln | x | + i * arg (x) + 2pi * i * n para algún número entero n, ya que exp es periódico en 2pi * i .

La ecuación original se puede reescribir como

exp (x * log (-2)) = exp (log (-4))

exp es periódico en 2pi * i, por lo que, en general, debemos introducir un índice entero n en la ecuación, donde cada valor de índice está asociado a una solución diferente. Podemos formalizar esto considerando el núcleo de log, que es z en C de modo que exp (0) = 1 = z. Por lo tanto, sabemos que esta z puede ser cualquier representación de 1 en C, que son precisamente exp (2pi * i * n) para el entero n, y tomando la preimagen de exp, encontramos

x * log (-2) = log (-4) + 2pi * i * Z, donde Z es el conjunto de todos los enteros.

De hecho, hay otro conjunto de enteros presentes en esta representación: en general, hay uno para cada vez que aparece un logaritmo en un coeficiente de una potencia de x.

x (ln | 2 | + pi * i + 2pi * i * Z) = (ln | 4 | + pi * i + 2pi * Z)

x = (ln | 4 | + pi * i + 2pi * Z) / (ln | 2 | + pi * i + 2pi * i * Z)

Para una solución particular, seleccione un par de enteros, uno para reemplazar cada Z.

Answer 2

[matemática] e ^ {i \ pi} = -1. [/ matemática] [matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemática] para entero [matemática] k. [/ matemática]

[matemáticas] (- 2) ^ x = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 e ^ {i \ pi}) ^ x = 4 e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]

[matemáticas] x (\ ln 2 + i \ pi) = \ ln 4 + i \ pi + 2 \ pi ki [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {\ ln 4 + i \ pi + 2 \ pi ki} {\ ln 2 + i \ pi} \ cdot \ dfrac {\ ln 2 – i \ pi} {\ ln 2 – i \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {\ ln 2 \ ln 4 + \ pi ^ 2 (1 + 2k) + i \ pi ((1 + 2k) \ ln 2 – \ ln 4)} {(\ ln 2) ^ 2 + \ pi ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {2 (\ ln 2) ^ 2 + \ pi ^ 2 (1 + 2k) + \ pi \ ln 2 (2k-1) i} {(\ ln 2) ^ 2 + \ pi ^ 2} [/ matemáticas]

Esa es la forma rectangular estándar.

Compruebe: Ugh.

[matemáticas] (- 2) ^ x = (2 e ^ {i \ pi}) ^ x = (e ^ {\ ln 2 + i \ pi}) ^ x = e ^ {x (\ ln 2 + i \ pi)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln 2 + i \ pi = (\ ln 2 + i \ pi) \ dfrac {\ ln 2 – i \ pi} {\ ln 2 – i \ pi} = \ dfrac {(\ ln 2) ^ 2 + \ pi ^ 2} {\ ln 2 – i \ pi} [/ math]

Esa forma cancela el denominador en [math] x: [/ math]

[matemáticas] x (\ ln 2 + i \ pi) = \ dfrac {2 (\ ln 2) ^ 2 + \ pi ^ 2 (1 + 2k) + \ pi \ ln 2 (2k-1) i} {\ En 2 – i \ pi} [/ math]

Tenga en cuenta que podemos hacer esta división:

[matemáticas] (\ ln 2 – i \ pi) (\ ln 4 + i \ pi + 2 \ pi ki) [/ matemáticas] [matemáticas] = 2 \ ln ^ 2 2 + \ pi ^ 2 (1 + 2k) + i \ pi (-2 \ ln 2 + \ ln 2 + 2k \ ln 2) [/ math] [math] = 2 \ ln ^ 2 2 + \ pi ^ 2 (1 + 2k) + i \ pi \ ln 2 (2k -1) [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] (- 2) ^ x = e ^ {\ ln 4 + i \ pi + 2 \ pi ki} = e ^ {i \ pi} e ^ {\ ln 4} e ^ {2 \ pi ki} = -4 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Answer 3

Creo que no tiene solución. Por ejemplo, si supone que x es complejo, entonces [math] (- 2) ^ x [/ math] seguirá siendo complejo, lo que nunca puede ser igual a -4, lo cual es completamente real.