¿Qué es integral tan x / (1 + m ^ 2 tan ^ 2 x) dx de 0 a pi / 2?

Answer 1

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ tan x} {1 + m ^ 2 \ tan ^ 2x} \, dx [/ math]

Convierta todo en [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} {1 + m ^ 2 \ frac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x}} \, dx [/ math]

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin x \ cos x} {\ cos ^ 2x + m ^ 2 \ sin ^ 2x} \, dx [/ math]

Ahora simplemente tome [math] \ sin ^ 2x = t [/ math]

Eso también implicaría [matemáticas] \ cos ^ 2x = 1-t [/ matemáticas]

Tomando derivados de ambos lados …

[matemáticas] 2 \ sen x \ cos x dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sen x \ cos x dx = \ dfrac {dt} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {1} {1-t + m ^ 2t} \, dt [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {1} {(m ^ 2-1) t + 1} \, dt [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {1} {(m ^ 2-1) \ left (t + \ dfrac {1} {m ^ 2-1} \ right)} \, dt [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2 (m ^ 2-1)} \ log \ left | t + \ dfrac {1} {m ^ 2-1} \ right | _ {0} ^ {1} [/matemáticas]

Pon los límites y luego simplifica un poco más usando las propiedades de Logaritmos que obtenemos …

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {2 (m ^ 2-1)} \ log \ left | m ^ 2 \ right | [/ math]

[matemáticas] I = \ dfrac {\ log \ left | m \ right |} {m ^ 2-1} [/ math]

Y que mi amigo, debería ser la respuesta 😀

Answer 2

Deje [math] I = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {\ tan (x) dx} {1 + m ^ 2 \ tan ^ 2 (x)} [/ math]

[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {\ tan (x) \ sec ^ 2 (x) dx} {(1+ \ tan ^ 2 (x)) (1 + m ^ 2 \ tan ^ 2 (x))} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ infty} \ dfrac {SdS} {(1 + S ^ 2) (1 + m ^ 2S ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2} \ int_0 ^ {\ infty} \ dfrac {d (1 + S ^ 2)} {(1 + S ^ 2) (1 + m ^ 2S ^ 2)} [ /matemáticas]

[math] = \ dfrac {1} {2} \ int_1 ^ {\ infty} \ dfrac {dp} {p [1 + m ^ 2 (p-1)]} [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {2} \ int_1 ^ {\ infty} \ dfrac {dp} {p [m ^ 2p + 1-m ^ 2]} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} \ int_1 ^ {\ infty} \ dfrac {m ^ 2p + 1-m ^ 2-m ^ 2p} {p [m ^ 2p + 1-m ^ 2]} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} \ int_1 ^ {\ infty} [\ dfrac {1} {p} – \ dfrac {m ^ 2} {m ^ 2p + 1- m ^ 2}] dp [/ matemáticas]

[matemática] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} [\ ln (p) – \ ln (pm ^ 2 + 1-m ^ 2)] _ 1 ^ {\ infty} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} [\ ln (\ dfrac {p} {m ^ 2p + 1-m ^ 2})] _ 1 ^ {\ infty} [/ math ]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} [- \ ln (m ^ 2 + \ dfrac {1-m ^ 2} {p})] _ 1 ^ {\ infty} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (1-m ^ 2)} [- \ ln (m ^ 2) + \ ln (1)] [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (m ^ 2-1)} \ ln (m ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {2 (m ^ 2–1)} \ cdot 2 \ ln | m | [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {m ^ 2–1} \ ln | m | [/ matemáticas]

Problema hecho

Answer 3

Deje [math] \ displaystyle I = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ tan (x)} {1 + m ^ 2 \ tan ^ 2 (x)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} {1 + \ frac {m ^ 2 \ sin ^ 2 (x)} {\ cos ^ 2 (x)}} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin (x) \ cos (x)} {\ cos ^ 2 (x) + m ^ 2 \ sin ^ 2 (x)} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin (x) \ cos (x)} {\ cos ^ 2 (x) + m ^ 2 (1 – \ cos ^ 2 (x))} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ dfrac {\ sin (x) \ cos (x)} {m ^ 2 + (1 – m ^ 2) \ cos ^ 2 (x)} \, dx [/ math]

Deje [math] \ cos (x) = y [/ math]

[matemáticas] \ implica – \ sin (x) \, dx = dy [/ matemáticas]

En [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas]

y [matemáticas] x = \ frac {\ pi} {2}, y = 0 [/ matemáticas]

Al sustituir el valor anterior en [matemáticas] I [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_1 ^ 0 \ dfrac {-y} {m ^ 2 + (1 – m ^ 2) y ^ 2} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {2 (1 – m ^ 2) y} {2 (1 – m ^ 2) (m ^ 2 + (1 – m ^ 2) y ^ 2)} \ , dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {2 (1 – m ^ 2) (m ^ 2 + (1 – m ^ 2) y ^ 2)} \, d (m ^ 2 + ( 1 – m ^ 2) y ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {2 (1 – m ^ 2)} \ ln (m ^ 2 + (1 – m ^ 2) y ^ 2) \ bigg | _0 ^ 1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {1} {2 (1 – m ^ 2)} \ ln (m ^ 2 + (1 – m ^ 2)) – \ dfrac {1} {2 (1 – m ^ 2 )} \ ln (m ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – \ dfrac {1} {1 – m ^ 2} \ ln (m) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = \ dfrac {1} {m ^ 2 – 1} \ ln (m) [/ matemáticas]