Cómo resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac {e ^ xe ^ {- x}} {2} = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

Resuelva para [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] \ frac {{e} ^ {x} – {e} ^ {- x}} {2} = 1 [/ matemáticas]

Multiplicar por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] {e} ^ {x} – {e} ^ {- x} = 2 [/ matemáticas]

Multiplique por [matemáticas] {e} ^ {x} [/ matemáticas] y recopile todos los términos en un lado:

[matemáticas] {e} ^ {2x} – 2 {e} ^ {x} – 1 = 0 [/ matemáticas]

Este es un cuadrático en términos de [matemáticas] {e} ^ {x} [/ matemáticas]. Para hacer esto más obvio, sustituiré [matemática] {e} ^ {x} = y [/ matemática]

[matemáticas] y ^ 2 – 2 y – 1 = 0 [/ matemáticas]

esto resuelve a:

[matemáticas] y = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] y = 1 – \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Sustituya la definición de [math] y [/ math] en:

[matemáticas] {e} ^ {x} = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] {e} ^ {x} = 1 – \ sqrt {2} [/ matemáticas]

La segunda solución es negativa, pero [matemática] {e} ^ {x} [/ matemática] nunca es negativa para [matemática] x [/ matemática] real, por lo que no puede ser eso.

[matemáticas] {e} ^ {x} = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Tome el logaritmo de ambos lados:

[matemáticas] x = \ ln (1 + \ sqrt {2}) [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] e ^ x – \ frac {1} {e ^ x} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ x) ^ 2 – 1 = 2e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] a = e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2-2a-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a-1) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemática] a = 1 + \ sqrt {2} [/ matemática] o [matemática] a = 1- \ sqrt {2} [/ matemática]

[matemáticas] e ^ x = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ x = 1 – [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]

El segundo no es posible porque no debe ser negativo.

Así:

[matemáticas] x = \ ln (1+ \ sqrt {2}) [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {e ^ xe ^ {- x}} {2} & = 1 \\ e ^ xe ^ {- x} & = 2 \\ e ^ {2x} -1 & = 2e ^ x \\ (e ^ x) ^ 2-2e ^ x-1 & = 0 \\ e ^ x & = \ dfrac {2 \ pm \ sqrt {8}} {2} = 1 \ pm \ sqrt {2} \ \ x & = \ ln \ left (1+ \ sqrt {2} \ right) \\ \ end {align} [/ math]

La respuesta negativa es imposible, por lo que la eliminamos.

Answer 4

Debido a que las otras respuestas aún no han mencionado, el lado izquierdo de la ecuación es la definición de la función seno hiperbólica, por lo que la ecuación en la pregunta se reduce rápidamente a …

[matemáticas] sinh (x) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = sinh ^ {- 1} [/ matemáticas] [matemáticas] (1) [/ matemáticas]

Que se definen en el plano complejo por:

[matemáticas] x = \ ln (1 + \ sqrt {1 ^ 2 + 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ ln (1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] [matemáticas]) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x \ aprox. 0.88137358702 [/ matemáticas]

¡Solo otra forma de verlo!

Answer 5

[matemáticas] e ^ xe ^ -x = 4 [/ matemáticas]

si [matemática] e ^ x = t [/ matemática]

t-1 / t = 4

[matemáticas] t ^ 2-4 * t-1 = 0 [/ matemáticas]

t ^ 2 -4 * t + 4 = 5

[matemáticas] (t-2) ^ 2 = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] t-2 = √5, t-2 = -√5 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = 2 + √5, t = 2-√5 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x = 2 + √5, e ^ x = 2-√5 {2-√5 es negativo pero e ^ x siempre es positivo, así que ignore esto.} [/ math]

[matemáticas] x = log (2 + √5) [/ matemáticas]

Answer 6

[matemáticas] sinh (x) = \ frac {e ^ {x} – e ^ {- x}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] arcsinh (x) = ln (x + \ sqrt {(x ^ {2} + 1)}) [/ matemáticas]

Usa las dos identidades trigonométricas hiperbólicas de sinh (x) y arcsinh (x) para resolver x.

[matemática] arcsinh (sinh (x)) = arcsinh (1) [/ matemática]

[matemáticas] x = ln (1 + \ sqrt {1 ^ {2} + 1})) [/ matemáticas]

[matemáticas] = ln (1 + \ sqrt {2})) [/ matemáticas]

Answer 7

La ecuación es la misma que [matemáticas] e ^ xe ^ {- x} = 2. [/ Matemáticas]

Para [matemática] X = e ^ x [/ matemática] tenemos [matemática] x = \ ln {X} [/ matemática] con [matemática] X> 0. [/ Matemática]

Entonces reescribimos todo:

[matemáticas] X – \ frac {1} {X} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] X ^ 2 -2X – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ delta = 4 – (4) (- 1) = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {\ delta} = 2 * \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, hay 2 soluciones que son:

[matemáticas] X_ {1} = 1 – \ sqrt {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] X_ {2} = 1 + \ sqrt {2}. [/ matemáticas]

Pero X tiene que ser positivo para que el registro sea verdadero. Así que solo conservamos el segundo. Lo que dará el resultado final:

[matemáticas] x = \ ln {(1 + \ sqrt {2})}. [/ matemáticas]

Tienes que probarlo tú mismo para ganar con esto. Espero que esto ayude.

Answer 8

podemos sustituir e ^ x con u solo para simplificarlo.

Entonces nosotros tenemos:

u – 1 / u = 2

u ^ 2 -1 = 2u

u ^ 2 – 2u -1 = 0

usando la fórmula cuadrática:

u = (2 ± (4 – (-4)) ^ 1/2) / 2

u = (2 ± 2 (2) ^ 1/2) / 2

u = 1+ sqrt (2) o 1 – sqrt (2)

ya que u = e ^ x

cualquier número real a la potencia de x no puede ser negativo.

e ^ x = 1 + sqrt (2)

x = ln (1 + sqrt (2))

Answer 9

Usted no Por supuesto, si tiene aplicaciones en el mundo real, entonces es solucionable; cualquier otra cosa es solo un juego mental. Por otra parte, ¿realmente quieres lidiar con el logaritmo exponencial natural, sin saber lo que significa la constante 2.71 en un mundo a solo .29 de un universo terciario 3.o?

Answer 10

Answer 11

Considere e ^ x como y donde y es cualquier número positivo, de modo que e ^ -x se convierte en 1 / y. Ahora ponga esto en la ecuación y resuélvalo

Answer 12

Como la parte izquierda de la ecuación es [math] \ sinh x [/ math], la respuesta obvio es [math] \ operatorname {arcsinh} 1 [/ math].